[论文解读] The structure of the group of conjugating automorphisms and the linear representation of the braid groups of some manifolds

В. Г. Бардаков|ArXiv.org|Jan 22, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 9

一句话总结

该论文为自由群 $F_n$ 的基共轭自构群 $Cb_n$ 建立了半直积分解，证明其同构于自由群与自由交换群的嵌套半直积。通过利用 $B_4$ 的 Lawrence–Krammer 表示，构造了 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 的忠实线性表示，并证明了球面 $B_n(S^2)$、实射影平面 $B_3(\mathbb{RP}^2)$ 上的辫群以及映射类群 $M(0,n)$ 的线性性，解决了辫群在流形上线性性问题的关键情形。

ABSTRACT

In this paper we describe the structure of a group of conjugating automorphisms $C_n$ of free group and prove that this structure is similar to the structure of a braid group $B_n$ with $n>1$ strings. We find the linear representation of group $C_n$. Also we prove that the braid group $B_n(S^2)$ of 2--sphere, mapping class group M(0,n) of the $n$--punctured 2--sphere and the braid group $B_3(P^2)$ of the projective plane are linear. Using result of J. Dyer, E. Formanek, E. Grossman and the faithful linear representation of Lawrence--Krammer of $B_4$ we construct faithful linear representation of the automorphism group $Aut(F_2)$.

研究动机与目标

• 确定自由群 $F_n$ 的基共轭自构群 $Cb_n$ 的代数结构。
• 为 $Cb_n$ 建立一个推广了纯辫群 $P_n$ 已知结构的半直积分解。
• 证明球面 $B_n(S^2)$、实射影平面 $B_3(\mathbb{RP}^2)$ 上的辫群以及映射类群 $M(0,n)$ 的线性性。
• 利用 $B_4$ 的 Lawrence–Krammer 表示，构造 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 的忠实线性表示。
• 解决关于 $Cb_n$ 中有限宽度的词子群的开放问题，以及 $\mathrm{IA}(F_n)$ 的有限表示性问题。

提出的方法

• 将 $Cb_n$ 分解为嵌套半直积 $D_{n-1} \ltimes (D_{n-2} \ltimes (\cdots \ltimes D_1))$，其中每个 $D_i$ 由 $2i$ 个自构 $\varepsilon_{i+1,j}$ 和 $\varepsilon_{j,i+1}$ 生成，$j=1,\dots,i$。
• 将 $D_i$ 识别为一个秩为 $i$ 的自由群与一个秩为 $i$ 的自由交换群的半直积，与纯辫群的分解一致。
• 以 Lawrence–Krammer 表示 $\rho: B_4 \to \mathrm{GL}_6(\mathbb{C})$ 作为构建 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 表示的基础。
• 通过提升 $B_4$ 中自由子群上的作用并利用陪集代表元扩展，构造表示 $\overline{\psi}: \mathrm{Aut}(F_2) \to \mathrm{GL}_{12}(\mathbb{Z}[t^{\pm1}, q^{\pm1}])$。
• 应用 Dyer、Formanek 和 Grossman 关于 $F_2$ 自构群的结果，证明该表示是忠实的。
• 利用 $B_4^* \simeq \mathrm{Aut}^+(F_2)$ 是 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 的 2 阶子群的事实，通过陪集上的类似单值变换的作用将表示扩展至整个群。

实验结果

研究问题

• RQ1 基共轭自构群 $Cb_n$ 是否同构于自由群与交换群的嵌套半直积，如 $P_n$ 的结构所暗示的那样？
• RQ2 是否可以利用 $B_4$ 的 Lawrence–Krammer 表示来构造 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 的忠实线性表示？
• RQ3 $B_n(S^2)$ 和 $B_3(\mathbb{RP}^2)$ 辫群是否线性？映射类群 $M(0,n)$ 是否线性？
• RQ4 $Cb_n$ 是否在 $n \geq 2$ 时不存在非平凡的有限宽度词子群，如其代数结构所暗示的？
• RQ5 对于 $n \geq 3$，群 $\mathrm{IA}(F_n)$ 是否有限表示，或其无限表示长度是否为无穷？

主要发现

• 群 $Cb_n$ 允许半直积分解 $Cb_n = D_{n-1} \ltimes (D_{n-2} \ltimes (\cdots \ltimes D_1))$，其中每个 $D_i$ 由 $2i$ 个自构生成，并分解为一个秩为 $i$ 的自由群与一个秩为 $i$ 的自由交换群的半直积。
• 球面 $B_n(S^2)$ 的辫群是线性的，映射类群 $M(0,n)$ 与实射影平面 $B_3(\mathbb{RP}^2)$ 的辫群也是线性的。
• 通过利用 $B_4$ 的 Lawrence–Krammer 表示及通过 $\omega$-作用的陪集扩展，构造了 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 在 $\mathrm{GL}_{12}(\mathbb{Z}[t^{\pm1}, q^{\pm1}])$ 中的忠实线性表示。
• 通过验证生成元的像满足 $\mathrm{Aut}(F_2)$ 的定义关系且核为平凡，证明了表示 $\overline{\psi}$ 是忠实的。
• $Cb_n$ 在 $n \geq 2$ 时不存在非平凡的有限宽度词子群，支持了 Kourovka 笔记本中的一个猜想。
• $B_4$ 的中心在 Lawrence–Krammer 表示下映射为数量矩阵，通过 $\mu = 1/\sqrt[12]{t^2 q^8}$ 的正规化，得到的表示可扩展至 $\mathrm{Aut}^+(F_2)$。