[论文解读] The SzegÖ kernel on an orbifold circle bundle

Jian Song|ArXiv.org|May 5, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 11

一句话总结

本文将Zelditch关于Bergman核的渐近展开推广至具有有限孤立奇点的紧致Kähler轨道丛，证明了高次正线丛的正交全纯截面的平方范数之和具有完整的渐近展开，其中包含在轨道丛点处的狄拉克函数奇点。关键结果建立了曲率不变量与展开式系数之间的精确对应关系，并给出了奇点处余项的显式公式。

ABSTRACT

The analysis of holomorphic sections of high powers $L^N$ of holomorphic ample line bundles $L o M$ over compact Kähler manifolds has been widely applied in complex geometry and mathematical physics. The Tian-Yau-Zelditch's asymptotic expansion of the Szegö kernel of a circle bundle plays an important role in Kähler-Einstein geometry. We generalize the expansion for compact Kähler orbifolds with only finite isolated singularities and analyze the behavior of the expansion near the singularities.

研究动机与目标

• 将Zelditch关于光滑Kähler流形上Bergman核的渐近展开推广至具有有限孤立奇点的紧致Kähler轨道丛。
• 分析在标准渐近展开失效的轨道丛奇点附近Bergman核的行为。
• 为轨道丛上高次正线丛的正交全纯截面的平方范数之和推导完整的渐近展开式。
• 以轨道丛群作用和曲率不变量表示展开式中的系数，特别是奇点处的余项。
• 建立缩放Fubini-Study度量收敛于轨道丛上原始Kähler度量的结果，且在Sobolev与Hölder范数下具有最优收敛速率。

提出的方法

• 将Boutet de Monvel-Sjöstrand关于Szegö核的参数构造方法适配至轨道丛情形，通过分布校正引入奇点。
• 利用Hörmander的L²估计与峰值截面技术控制截面在奇点附近的增长。
• 引入带强拟凸权函数的加权L²内积，研究度量扰动及其相关的Bergman核。
• 应用驻定相位法与复分析技术计算渐近展开的主导项，特别是奇点处的狄拉克函数贡献。
• 通过群表示论与轨道丛局部模型，推导出余项系数的显式公式 $ b(i) = \frac{1}{|G_i|} \sum_{1 \neq g \in G_i} \frac{1}{\det(I - g|T_{z_i})} $。
• 通过热核估计与奇点附近指数衰减的结合，建立尖锐的 $ C^k $ 与 $ L^p $ 收敛速率，其中 $ r $ 为到奇点集的测地距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准光滑方法失效的具有孤立奇点的Kähler轨道丛上，Bergman核渐近性如何表现？
• RQ2 轨道丛上全纯截面平方范数之和的渐近展开具有何种精确结构，特别是在奇点附近？
• RQ3 奇点处的余项能否以局部群作用和曲率不变量显式计算？
• RQ4 缩放的Fubini-Study度量的拉回是否收敛于轨道丛上的原始Kähler度量？收敛速率如何？
• RQ5 在何种条件下，度量逼近在Hölder或Sobolev范数下收敛？

主要发现

• 正交全纯截面平方范数之和具有完整的渐近展开：$ \sum_{i=0}^{d_N} \|S_i^N(z)\|^2_{h_N} \sim a_0 N^n + a_1(z) N^{n-1} + \cdots + a_n(z) + \sum_{i=1}^m b(i) \delta_{z_i}(z) + a_{n+1}(z) N^{-1} + \cdots $，其中 $ a_0 = 1 $。
• 系数 $ a_1(z) $ 为轨道丛Kähler度量 $ g $ 的标量曲率，推广了光滑情形的结果。
• 每个奇点 $ z_i $ 处的余项为 $ b(i) = \frac{1}{|G_i|} \sum_{1 \neq g \in G_i} \frac{1}{\det(I - g|T_{z_i})} $，其仅依赖于局部群作用。
• 当 $ N \to \infty $ 时，Bergman核与其主导渐近项之差弱收敛于奇点处的狄拉克函数之和。
• 在 $ C^k $ 范数下的收敛速率受 $ C_{R,k}(N^{n-R} + N^{n + k/2} e^{-\delta N r^2}) $ 控制，表明在奇点外具有指数衰减。
• 缩放的Fubini-Study度量拉回收敛于原始Kähler度量，收敛速率为 $ \| \frac{1}{N} \Phi_N^* \omega_{FS} - \omega \|_{C^k} \leq C_k (N^{-1} + N^{k/2} e^{-\delta N r^2}) $，在奇点附近具有最优衰减。