[论文解读] The tangent groupoid of a Heisenberg manifold

Raphaël Ponge|ArXiv.org|Apr 7, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文为赫森堡流形构造了康奈斯切触群胚的赫森堡类比，采用精细的赫森堡坐标和赫森堡微分同胚的切逼近结果。关键贡献在于定义了一个 $ b $-可微群胚 $\mathcal{G}_H M$，该群胚平滑地将 $M \times M$ 变形为切李群丛 $GM$，从而为CR流形和接触流形上拟椭圆算子的指标理论提供了几何框架。

ABSTRACT

As a step toward proving an index theorem for hypoelliptic operators Heisenberg manifolds, including those on CR and contact manifolds, we construct an analogue for Heisenberg manifolds of Connes' tangent groupoid of a manifold $M$. As it is well known for a Heisenberg manifold $(M,H)$ the relevant notion of tangent is rather that of Lie group bundle of graded 2-step nilpotent Lie groups $GM$. We then construct the tangent groupoid of $(M,H)$ as a differentiable groupoid $\cG_{H} M$ encoding the smooth deformation of $M imes M$ to $GM$. In this construction a crucial use is made of a refined notion of privileged coordinates and of a tangent approximation result for Heisenberg diffeomorphisms.

研究动机与目标

• 为赫森堡流形（包括CR流形和接触流形）上的拟椭圆算子证明指标定理建立几何框架。
• 将康奈斯的切群胚构造从黎曼几何推广到赫森堡几何，其中切空间由分次幂零李群丛取代。
• 建立 $M \times M$ 到切李群丛 $GM$ 的光滑变形，该变形编码了赫森堡流形的无穷小结构。
• 通过非椭圆伪微分演算，为将阿蒂亚-辛格指标定理推广到拟椭圆情形奠定基础。

提出的方法

• 将切李群丛 $GM$ 构造为 $TM/H \oplus H$，并赋予分次结构和由莱维形式 $\mathcal{L}$ 定义的李群运算，公式为 $ (X_0 + X') \cdot (Y_0 + Y') = X_0 + Y_0 + \frac{1}{2}\mathcal{L}(X', Y') + X' + Y' $。
• 引入赫森堡坐标——一种精细的特权坐标，确保赫森堡微分同胚可由切点处的李群同构良好逼近。
• 将切群胚 $\mathcal{G}_H M$ 定义为不相交并集 $GM \sqcup (M \times M \times (0,\infty))$，其拓扑和光滑结构由赫森堡坐标导出。
• 通过在赫森堡坐标中使用渐近展开，证明乘法映射的光滑性，从而赋予 $\mathcal{G}_H M$ 一个 $ b $-可微群胚结构。
• 通过证明赫森堡微分同胚诱导群胚同构 $\Phi_H: \mathcal{G}_H M \to \mathcal{G}_H' M'$，建立函子性，保持群胚结构。
• 利用局部坐标 $\gamma_\kappa$ 验证 $\Phi_H$ 及其逆的光滑性，证明其为 $ b $-可微群胚的微分同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为赫森堡流形构造一个切群胚，使其推广康奈斯对光滑流形的构造，用分次幂零李群丛替代切丛？
• RQ2 赫森堡微分同胚在无穷小层面如何被李群同构逼近？何种结构支持这一逼近？
• RQ3 在不相交并集 $GM \sqcup (M \times M \times (0,\infty))$ 上可赋予何种光滑结构，使其成为一个 $ b $-可微群胚？
• RQ4 该 $\mathcal{G}_H M$ 的构造是否尊重赫森堡结构的对称性，即在赫森堡微分同胚下是否具有函子性？
• RQ5 切群胚 $\mathcal{G}_H M$ 是否可用于在赫森堡演算中定义拟椭圆算子的解析指标？

主要发现

• 切群胚 $\mathcal{G}_H M$ 被构造为一个 $ b $-可微群胚，其平滑地将 $M \times M$ 变形为切李群丛 $GM$，其集合论分解为 $\mathcal{G}_H M = GM \sqcup (M \times M \times (0,\infty))$。
• 通过赫森堡坐标建立了 $\mathcal{G}_H M$ 上的光滑结构，该坐标确保了过渡映射的一致性，并保证乘法映射的光滑性。
• 证明了一个关键的切逼近结果：在赫森堡坐标下，赫森堡微分同胚在对应点的切群之间可被李群同构良好逼近。
• 该构造具有函子性：每个赫森堡微分同胚 $\phi: (M,H) \to (M',H')$ 都诱导一个群胚同构 $\Phi_H: \mathcal{G}_H M \to \mathcal{G}_H' M'$，且该同构是 $ b $-可微群胚的微分同胚。
• $\Phi_H$ 的光滑性与可逆性通过其在赫森堡坐标中的局部表达式得到验证，证明其为微分同胚。
• 结果表明，$\mathcal{G}_H M$ 的同构类仅依赖于 $(M,H)$ 的赫森堡微分同胚类，从而确认了该构造的几何自然性。