[论文解读] The tangent space to the moduli space of vector bundles on a curve and the singular locus of the theta divisor of the jacobian

B. van Geemen, Elham Izadi|ArXiv.org|May 7, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 40

一句话总结

本文完成了对非双椭圆曲线（genus g ≥ 4）上秩为2、行列式为平凡的向量丛模空间嵌入到 Pic^{g−1}C 上线性系统 |2Θ| 的证明。它将非稳定丛 ξ⊕ξ⁻¹ 处的嵌入切空间识别为包含平移theta除子 Θ_ξ 的奇点集的 |2Θ| 中的除子线性系统，通过 Sing(Θ_ξ) 的线性条件对切空间给出了几何刻画。

ABSTRACT

We complete the proof of the fact that the moduli space of rank two bundles with trivial determinant embeds into the linear system of divisors on $Pic^{g-1}C$ which are linearly equivalent to $2Θ$. The embedded tangent space at a semi-stable non-stable bundle $ξ\oplusξ^{-1}$, where $ξ$ is a degree zero line bundle, is shown to consist of those divisors in $|2Θ|$ which contain $Sing(Θ_ξ)$ where $Θ_ξ$ is the translate of $Θ$ by $ξ$. We also obtain geometrical results on the structure of this tangent space.

研究动机与目标

• 完成证明：对非双椭圆曲线（genus g ≥ 4），映射 Δ: M_O → |2Θ| 是一个嵌入。
• 刻画非稳定丛 ξ⊕ξ⁻¹ 的像处 Δ(M_O) 的嵌入切空间。
• 以平移theta除子 Θ_ξ 的奇点集为条件，识别切空间的几何结构。
• 通过 Verlinde 公式与不变量理论，将切空间结构与曲线及模空间的上同调数据联系起来。
• 在 M_O 的奇点处，建立切空间与 Pic^{g−1}C 上 theta 除子几何之间的精确联系。

提出的方法

• 使用映射 Δ: M_O → |2Θ|，将半稳定丛 E 映射到除子 D_E = {L ∈ Pic^{g−1}C : h⁰(E⊗L) > 0}。
• 应用 Bravio 和 Verra (2000) 的结果，证明 Δ 在非稳定丛 ξ⊕ξ⁻¹ 处是浸入。
• 将 Δ(ξ⊕ξ⁻¹) 处的嵌入切空间 T_ξ 识别为包含平移 Θ_ξ 的奇点集 Sing(Θ_ξ) 的 |2Θ| 中的除子集合。
• 通过自然映射 h: Pic^{g−1}C → |2Θ|*，将切空间表示为 H_L ⊂ |2Θ|* 中所有 L ∈ Sing(Θ_ξ) 的超平面交集。
• 使用 Leray 谱序列与 Künneth 同构进行上同调计算，分析 H^i(C^{(g−1)} × C, p^*L) 与 H^i(D, O_D(D) ⊗ p^*L)。
• 利用长正合上同调序列及引理 7.7、7.8、7.13 和 7.29 中的同构，计算维数并证明关键映射的满射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非稳定丛 ξ⊕ξ⁻¹ 处，模空间 M_O 的嵌入切空间的精确几何描述是什么？
• RQ2 平移 theta 除子 Θ_ξ 的奇点集如何与 |2Θ| 中 Δ(M_O) 的切空间相关联？
• RQ3 ξ⊕ξ⁻¹ 处的切空间能否被刻画为满足特定几何条件的 |2Θ| 中除子线性系统？
• RQ4 切空间 T_{ξ⊕ξ⁻¹}M_O 的上同调结构是什么？其如何分解为 S²H¹(O) 与 ∧³H¹(O) 等分量？
• RQ5 对对称积 C^{(g−1)} 上线丛及其上拉回的高阶上同调群，如何与切空间计算相关联？

主要发现

• 在 Δ(ξ⊕ξ⁻¹) 处的嵌入切空间 T_ξ ⊂ |2Θ| 恰好是包含平移 theta 除子 Θ_ξ 的奇点集 Sing(Θ_ξ) 的 |2Θ| 中所有除子的集合。
• 切空间 T_ξ 同构于所有 L ∈ Sing(Θ_ξ) 的超平面 H_L ⊂ |2Θ|* 的交集，即 T_ξ = ∩_{L∈Sing(Θ_ξ)} H_L。
• 切空间 T_ξ 的维数为 (g−1)²，与 M_O 在 ξ⊕ξ⁻¹ 处的切空间维数一致。
• 切空间 T_{O⊕O} 分解为 S²H¹(C,O) ⊕ ∧³H¹(C,O)，其中 S²H¹(C,O) 对应于 M_O 内的 Kummer 曲面 K⁰(C)。
• 商空间 ∧³H¹(C,O) 由一族包含 Kummer 曲面切空间但不包含整个切空间 T_ξ 的超平面所检测。
• 通过谱序列与同构计算了相对切丛 T_{C^{(g−1)}} ⊗ L 的上同调，得到 H¹(C^{(g−1)}, T_{C^{(g−1)}} ⊗ L) ≅ (g−1)²。