[论文解读] The Taylor expansion of Ruelle L-function at the origin and the Borel regulator

Ken‐ichi Sugiyama|ArXiv.org|Apr 17, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文为奇维有限体积双曲流形上尖点单位局部系统之 Ruelle L-函数建立了函数方程与黎曼型假设。它计算了原点处的洛朗展开，表明第二项系数为体积的有理倍数，至多含尖点贡献；在三维情形下，将首项系数识别为 K-理论元素的周期，并通过 Cheeger-Müller 定理由 Borel 上同调量与 $L^2$- torsion 关联。

ABSTRACT

We will prove that Ruelle L-function for a cuspidal local system on an odd dimensional hyperbolic manifold with finite volume satisfies a functional equation and an analog of the Riemann hypothesis. We will also compute its Laurent expansion at the origin and will prove that the second coefficient coincides with a rational multiple of the volume up to a certain contribution from cusps. Moreover if the dimension is three we will identify the leading coefficient. Both of them will be intepreted by the Borel regulator in algebraic K-theory. Also a relation with the L^2-torsion will be discussed.

研究动机与目标

• 为奇维有限体积双曲流形上尖点单位局部系统的 Ruelle L-函数建立函数方程，并提出黎曼假设的类比。
• 计算 Ruelle L-函数在原点处的洛朗展开，将第二项系数识别为体积的有理倍数，至多含尖点贡献。
• 在三维情形下，识别泰勒展开的首项系数，并将其解释为 K-理论元素的周期。
• 通过 Cheeger-Müller 定理，将 Ruelle L-函数的特殊值与 $L^2$- torsion 及 Borel 上同调量相联系。

提出的方法

• 利用 Selberg 跟踪公式与双曲流形上拉普拉斯算子的谱理论，分析 Ruelle L-函数的解析延拓与函数方程。
• 应用 Mellin 变换处理热核展开，研究与 Ruelle L-函数相关的 zeta 函数，并提取特殊值。
• 利用 Cheeger-Müller 定理，将分析 torsion（Ray-Singer torsion）与 Ruelle L-函数在零点处的对数导数相联系。
• 在 $K_{2l-1}(ield{C})$ 上定义并计算 Borel 上同调量映射，将泰勒展开的首项系数解释为上同调量周期。
• 分析 Ruelle L-函数对数导数的行为，推导对称性性质，并在临界带内定位零点与极点。
• 利用 Epstein zeta 函数与尖点贡献，定义常数 $\delta(X,\rho)$，该常数修正了函数方程中的体积项。

实验结果

研究问题

• RQ1 奇维有限体积双曲流形上尖点单位局部系统的 Ruelle L-函数是否满足函数方程，并具有黎曼假设的类比？
• RQ2 Ruelle L-函数在原点处的洛朗展开的精确结构为何？其系数如何与体积等几何不变量及尖点贡献相关？
• RQ3 在三维情形下，泰勒展开的首项系数是否可被识别为 K-理论元素的周期？其与 Borel 上同调量有何关系？
• RQ4 流形的 $L^2$- torsion 如何通过 Cheeger-Müller 定理由 Ruelle L-函数的特殊值关联？
• RQ5 常数 $\delta(X,\rho)$（通过尖点处的 Epstein zeta 函数定义）在修正函数方程与系数结构中起何作用？

主要发现

• Ruelle L-函数满足如下形式的函数方程：$ R_X(z,\rho) \cdot R_X(-z,\rho)^{-1} = \exp\left[\frac{\operatorname{vol}(X)}{\pi} Y(z) + 4\sum_{j=0}^{n}(-1)^j \delta(X,\rho) z \right] $，其中 $ Y(z) $ 为在零点处为零的有理多项式。
• 在原点处洛朗展开的第二项系数 $ c_1 $ 满足 $ c_1 - 2\sum_{j=0}^{n}(-1)^j \delta(X,\rho) = \text{有理倍数} \times \frac{\operatorname{vol}(X)}{\pi} $，在三维情形下等式成立：$ c_1 = -3r \frac{\operatorname{vol}(X)}{\pi} $。
• 在三维情形下，泰勒展开的首项系数被识别为 $ K_1(\mathbb{C}) $ 中某元素的周期，解释为 Borel 上同调量周期。
• $ L^2 $- torsion 与特殊值 $ \zeta_X'(0,\rho) $ 相关，后者等于 Ruelle L-函数在零点处的对数导数，并通过热核的 Mellin 变换表达。
• 常数 $ \delta(X,\rho) $ 来源于尖点处的 Epstein zeta 函数，修正了函数方程与系数展开中的体积项。
• Ruelle L-函数在原点处泰勒展开的首项为 $ \exp(-\zeta_X'(0,\rho)) $，将分析 torsion 与 Ruelle L-函数在原点处的行为相联系。