[论文解读] The Taylor Interpolation through FFT Algorithm for Electromagnetic Wave Propagation and Scattering

Shaolin Liao|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 8被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种通过快速傅里叶变换进行泰勒插值（TI-FFT）的算法，用于高效计算准平面几何结构中的电磁波传播与散射。通过在空间域或谱域中结合泰勒级数展开与基于FFT的插值，该方法实现了最优计算复杂度 $\mathcal{N}_{r}^{\text{opt}}\mathcal{N}_{o}^{\text{opt}}\mathcal{O}(N\log_2 N)$，其中 $\mathcal{N}_{o}^{\text{opt}} \sim -\ln\gamma_{\text{TI}}$ 且 $\delta_z^{\text{opt}} \sim \frac{1}{17}\lambda_c$，从而实现低采样率和无奇点的计算，特别适用于窄带波束。

ABSTRACT

The Taylor Interpolation through FFT (TI-FFT) algorithm for the computation of the electromagnetic wave propagation in the quasi-planar geometry within the half-space is proposed in this article. There are two types of TI-FFT algorithm, i.e., the spatial TI-FFT and the spectral TI-FFT. The former works in the spatial domain and the latter works in the spectral domain. It has been shown that the optimized computational complexity is the same for both types of TI-FFT algorithm, which is N_r^{opt} N_o^{opt} O (N log_2 N) for an N = N_x imes N_y computational grid, where N_r^{opt} is the optimized number of slicing reference planes and N_o^{opt} is the optimized order of Taylor series. Detailed analysis shows that N_o^{opt} is closely related to the algorithm's computational accuracy γ_{TI}, which is given as N_o^{opt} ~ - ln(γ_{TI}) and the optimized spatial slicing spacing between two adjacent spatial reference planes δ_z^{opt} only depends on the characteristic wavelength λ_c of the electromagnetic wave, which is given as δ_z^{opt} ~ 1/17 λ_c. The planar TI-FFT algorithm allows a large sampling spacing required by the sampling theorem. What's more, the algorithm is free of singularities and it works particularly well for the narrow-band beam and the quasi-planar geometry.

研究动机与目标

• 解决大规模电磁波传播中直接积分方法计算成本过高的问题，其计算复杂度为 $\mathcal{O}(N^2)$。
• 将基于FFT的方法的应用范围从平面几何结构扩展到直接FFT无法适用的准平面配置。
• 开发一种计算高效且精确的算法，用于近场与远场电磁波计算，尤其适用于波束整形与散射应用。
• 优化泰勒级数的阶数与空间分段间距，以在保持所需精度的前提下最小化计算复杂度。

提出的方法

• 提出两种变体：空间TI-FFT用于在准平面表面上计算场分布，谱TI-FFT用于计算电磁场的二维傅里叶谱。
• 利用格林函数的泰勒级数展开，在空间参考平面之间插值场值，从而实现在非均匀或非网格点上的插值。
• 通过谱域计算格林函数的二维傅里叶变换，以闭式表达，利用谱域实现高效计算。
• 通过谱域平移实现相位补偿，以处理源平面与观测平面之间坐标系的偏移。
• 在谱域中使用零填充，以实现在空间域的插值，确保满足奈奎斯特准则下的精度。
• 优化参考平面数量 $\mathcal{N}_r^{\text{opt}}$ 与泰勒级数阶数 $\mathcal{N}_o^{\text{opt}}$，以最小化计算复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 FFT能否有效应用于直接FFT应用失败的准平面电磁波传播问题？
• RQ2 在TI-FFT框架中，何种泰勒级数展开阶数能在精度与计算成本之间实现最佳平衡？
• RQ3 参考平面之间的空间分段间距如何影响计算的精度与效率？
• RQ4 TI-FFT算法能否在保持高精度的前提下实现低采样率（大间距）？尤其对窄带波束是否有效？
• RQ5 优化后的TI-FFT算法的计算复杂度是多少？其随网格尺寸如何变化？

主要发现

• 优化后的TI-FFT算法计算复杂度为 $\mathcal{N}_{r}^{\text{opt}}\mathcal{N}_{o}^{\text{opt}}\mathcal{O}(N\log_2 N)$，适用于 $N = \mathcal{N}_x \times \mathcal{N}_y$ 网格，其效率与标准FFT相当。
• 最优泰勒级数阶数 $\mathcal{N}_o^{\text{opt}}$ 与精度呈对数关系，满足 $\mathcal{N}_o^{\text{opt}} \sim -\ln\gamma_{\text{TI}}$，其中 $\gamma_{\text{TI}}$ 为算法的计算精度。
• 最优空间分段间距 $\delta_z^{\text{opt}}$ 约为 $\frac{1}{17}\lambda_c$，其中 $\lambda_c$ 为电磁波的特征波长。
• 该算法允许较大的采样间距（低采样率），同时仍满足采样定理，从而实现高效计算。
• 该方法无奇点，特别适用于窄带波束和准平面几何结构。
• TI-FFT算法适用于近场与远场计算、波束整形反射镜设计、衍射、散射以及半空间场景下的微波成像。