[论文解读] The terms in Lucas sequences divisible by their indices

Christopher Smyth|ArXiv.org|Aug 26, 2009

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 15被引用 19

一句话总结

本文刻画了自然数 $ n $，使得 $ n $ 整除第一类和第二类卢卡斯序列的第 $ n $ 项 $ u_n $ 和 $ v_n $ 的情形。证明了此类 $ n $ 均为一组小规模的‘基本’值（1、6 或 12）与从 $ u_n\Delta $ 或 $ v_n\Delta $ 衍生出的特定素数的乘积，通过递归素数扩展与整除性性质，完整描述了这些整除性集合的结构。

ABSTRACT

For Lucas sequences of the first kind (u_n) and second kind (v_n) defined as usual for positive n by u_n=(a^n-b^n)/(a-b), v_n=a^n+b^n, where a and b are either integers or conjugate quadratic integers, we describe the set of indices n for which n divides u_n and also the set of indices n for which n divides v_n. Building on earlier work, particularly that of Somer, we show that the numbers in these sets can be written as a product of a so-called basic number, which can only be 1, 6 or 12, and particular primes, which are described explicitly. Some properties of the set of all primes that arise in this way is also given, for each kind of sequence.

研究动机与目标

• 刻画第一类卢卡斯序列中满足 $ \{n \in \mathbb{N} : n \mid u_n\} $ 的集合。
• 刻画第二类卢卡斯序列中满足 $ \{n \in \mathbb{N} : n \mid v_n\} $ 的集合。
• 识别这些集合的‘基本’元素，并描述所有元素如何通过乘以特定素数生成。
• 确定在何种条件下，此类 $ n $ 的集合或其关联素数集合为有限或无限。

提出的方法

• 使用比内公式及特征方程 $ x^2 - Px + Q = 0 $ 的根 $ \alpha, \beta $ 的性质，定义卢卡斯序列 $ u_n $ 和 $ v_n $。
• 应用定理 1(b)，证明所有 $ n \in S $（第一类）均为基本元素与 $ \mathcal{P}_{S,n} $ 中素数的乘积，其中 $ \mathcal{P}_{S,n} $ 为整除 $ u_n\Delta $ 的素数集合。
• 利用索默的结果（定理 3）及其改进（命题 4），实现对最大素因子的反向除法，从而识别基本元素。
• 利用恒等式 $ u_{kn} = u_k^{(n)} u_n $ 证明 $ u_n \mid u_{np} $，支持 $ S $ 在乘以 $ \mathcal{P}_{S,n} $ 中素数下的封闭性。
• 应用推论 2：若 $ m $ 的所有素因子均整除 $ u_n\Delta $，则 $ nm \in S $，强化了先前结果。
• 分析 $ S $ 和 $ T $ 的结构，将其视为以基本元素为根的森林，边由允许的素数标记，从而实现对不超过某界限的元素的高效搜索。

实验结果

研究问题

• RQ1 在第一类卢卡斯序列中，对哪些 $ n $ 有 $ n \mid u_n $？
• RQ2 在第二类卢卡斯序列中，对哪些 $ n $ 有 $ n \mid v_n $？
• RQ3 集合 $ \{n : n \mid u_n\} $ 和 $ \{n : n \mid v_n\} $ 的‘基本’元素是什么？所有此类 $ n $ 如何从这些基本元素生成？
• RQ4 在 $ P $ 和 $ Q $ 满足何种条件时，集合 $ \{n : n \mid u_n\} $、$ \{n : n \mid v_n\} $ 或其关联素数集合为有限或无限？

主要发现

• 集合 $ \{n : n \mid u_n\} $ 由基本元素（1、6 或 12）与 $ \mathcal{P}_{S,n} $ 中素数的乘积构成，其中 $ \mathcal{P}_{S,n} $ 为整除 $ u_n\Delta $ 的素数集合。
• 第一类的基本元素为：若 $ P \equiv 3 \pmod{6} $ 且 $ Q \equiv \pm1 \pmod{6} $，则为 1 和 6；若 $ P \equiv \pm1 \pmod{6} $ 且 $ Q \equiv -1 \pmod{6} $，则为 1 和 12；否则仅含 1。
• 对于第二类，集合 $ \{n : n \mid v_n\} $ 同样由基本元素生成，其中 $ \mathcal{P}_{T,n} $ 定义为整除 $ v_n\Delta $ 的素数，或在特殊情况下包含 2。
• 所有整除某个 $ n \in S $ 的素数集合 $ \mathcal{P}_S $ 为无限集，除非 $ S $ 本身为有限集；当 $ P=1, Q=-1 $（斐波那契情形）时，$ \mathcal{P}_S $ 为全部素数。
• 若序列 $ v_n $ 非退化且具有无限多个本原素因子，则集合 $ \mathcal{P}_T $ 为无限集，这在 $ P $ 和 $ Q $ 的一般条件下成立。
• 推论 2 表明：若 $ m $ 的所有素因子均整除 $ u_n\Delta $，则 $ nm \in S $，提供了 $ S $ 中成员资格的强充分条件。