[论文解读] The theory of superstring with flux on non-Kahler manifolds and the complex Monge-Ampere equation

Jixiang Fu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 11

一句话总结

该论文通过为非凯勒流形上的非线性复蒙日-安培方程建立先验估计，解决了非凯勒流形上的斯特罗明格系统，证明了实现异质超弦理论中flux紧化所需的光滑解的存在性。关键贡献在于通过非凯勒形变将卡拉比-丘流形几何联系起来，解通过广义埃尔米特-杨-米尔斯系统和体积形式约束满足异常消除与超对称性条件。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to solve a problem posed by Strominger in constructing smooth models of superstring theory with flux. These are given by non-Kahler manifolds with torsion.

研究动机与目标

• 在非凯勒流形上构造具有flux的光滑、超对称的超弦紧化，解决弦理论中长期存在的开放问题。
• 通过求解带有体积形式约束的非线性复蒙日-安培方程，证明斯特罗明格系统解的存在性。
• 通过$S^3 \times S^3$的连通和构造非凯勒几何，实现M. Reid关于通过非凯勒几何连接不同拓扑的卡拉比-丘流形的构想。
• 通过在卡拉比-丘基底上使用具有调和(1,1)-形式的纤维化，将斯特罗明格系统推广至高维复流形。
• 在非凯勒流形上提供一种支持平行旋量与稳定向量丛的规范赫米特度量结构。

提出的方法

• 将斯特罗明格系统表述为耦合方程组：赫米特-杨-米尔斯条件、通过$\partial\bar{\partial}\omega = \frac{\alpha'}{4}(\text{tr}R\wedge R - \text{tr}F\wedge F)$实现的异常消除，以及涉及$d^*\omega$的稀释子条件。
• 通过固定全纯体积形式并将体积形式约束$d(\|\Omega\|_{\omega}^{2\frac{n-1}{n}}\omega^n) = 0$进行分析，将系统约化为非线性复蒙日-安培方程。
• 对凯勒势$u$应用先验估计——零阶、二阶、三阶及行列式估计，以控制曲率与体积形式的行为。
• 通过在卡拉比-丘$n$-流形上构造$T^2$-纤维丛，利用调和(1,1)-形式$\omega_1, \omega_2$与函数$u$定义度量$\omega_u = e^u\omega_K + \frac{\sqrt{-1}}{2}\theta\wedge\bar{\theta}$，显式构造解。
• 利用乌伦贝克-杨定理确保在纤维丛上的拉回丛上存在赫米特-杨-米尔斯联络，满足$F_H^{2,0} = F_H^{0,2} = 0$与$F_H \wedge \omega^n = 0$。
• 通过验证所构造的度量与丛在维数$n+1$下满足广义斯特罗明格系统，包括$\text{tr}R_u\wedge R_u$与曲率项匹配，且体积形式条件成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非凯勒流形上构造斯特罗明格系统的光滑解，使其同时满足异常消除与超对称性？
• RQ2 当体积形式不固定且依赖于度量时，如何求解斯特罗明格系统中出现的复蒙日-安培方程？
• RQ3 能否通过非凯勒几何将卡拉比-丘流形的几何形变为微分同胚于$S^3 \times S^3$连通和的非凯勒流形，同时保持超对称性与flux条件？
• RQ4 调和(1,1)-形式在构造支持稳定向量丛与赫米特-杨-米尔斯联络的高维非凯勒流形中起何作用？
• RQ5 在$n \geq 3$时，广义斯特罗明格系统中曲率项$\text{tr}R\wedge R$与$\text{tr}F\wedge F$如何相互作用？

主要发现

• 在复三维流形上构造了斯特罗明格系统的光滑解，解决了弦紧化中具有flux的20年未解开放问题。
• 解通过非线性复蒙日-安培方程的先验估计获得，体积形式约束$d(\|\Omega\|_{\omega}^{2\frac{n-1}{n}}\omega^n) = 0$起关键作用。
• 在卡拉比-丘$n$-流形上$T^2$-纤维丛上构造的度量$\omega_u$满足$\|\Omega\|_{\omega_u}^2 = e^{-nu}$，确保满足体积条件。
• 曲率项$\text{tr}R_u\wedge R_u$被分解为基底卡拉比-丘度量与纤维化的贡献，其中$\partial\bar{\partial}u$-项与$\partial\bar{\partial}(e^{-u}\text{tr}\bar{\partial}B\wedge\partial B^*)$被显式计算。
• 系统约化为涉及$\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u$与调和形式的可解方程，其可解性条件涉及$\int_K \mu \frac{\omega_K^n}{n!} = 0$。
• 通过在卡拉比-丘$n$-流形上构造$T^2$-纤维丛，该构造可推广至$n+1$维流形，其中$\Omega = \Omega_K \wedge \theta$定义全纯体积形式。