[论文解读] The Topology of the $m$-Tamari Lattices

Henri Mühle|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过 $m$-Dyck 路径提出了一种新的 $m$-Tamari 格的 EL-标记，证明了其 EL-壳化性并计算了 Möbius 函数，其取值仅限于 \{-1, 0, 1\}。此外，本文将这些格中的区间表征为同伦等价于点或球面，通过基于路径的组合学方法确立了其拓扑简单性。

ABSTRACT

The $m$-Tamari lattices $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ were recently introduced by Bergeron and Préville-Ratelle as posets on $m$-Dyck paths, and it was shown by Bousquet-Mélou, Fusy and Préville-Ratelle that these lattices form intervals in the classical Tamari lattice $\mathcal{T}_{nm}$. It follows from a theorem by Björner and Wachs and a basic property of EL-shellable posets, that the $m$-Tamari lattices are EL-shellable. In this article, we define a new EL-labeling of the $m$-Tamari lattices completely in terms of $m$-Dyck paths. With the help of this labeling, we compute the values of the Möbius function of $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$, and we characterize the intervals of $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ according to their topological properties.

研究动机与目标

• 提供一种全新的、完全基于 $m$-Dyck 路径框架的 $m$-Tamari 格的内在 EL-标记。
• 利用新标记和壳化性质计算 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 的 Möbius 函数。
• 基于其同伦等价性，表征 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 中区间的拓扑类型。
• 提供一个自包含的、基于路径的证明，以独立于先前关于左模性或整齐格结果的方式，揭示 $m$-Tamari 格的拓扑与代数性质。

提出的方法

• 通过 $m$-Dyck 路径的结构定义 $m$-Tamari 格 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 的新 EL-标记，推广了 Björner 和 Wachs 的构造。
• 利用新标记证明对所有 $m, n \geq 1$，有 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 是 EL-壳化的。
• 表征子集 $D \subseteq \{2, \dots, n\}$ 对应的 $\text{diff}_D(\hat{0})$ 和 $\text{diff}_D(\hat{1})$，即在 $D$ 索引位置上不同的元素。
• 通过在指定位置依次减少原语子序列，从 $\hat{0}$ 构造到 $\text{diff}_D(\hat{0})$ 中元素的下降链。
• 通过计数 $\text{diff}_D(\hat{1})$ 中的最大链来分析 Möbius 函数 $\mu(\mathbf{a}, \hat{1})$，表明其仅在 $D = \emptyset$ 或 $D = [i,n]$ 时非零。
• 建立 $|\mathcal{S}_n^{(m)}(\hat{0})| = |\mathcal{S}_n^{(m)}(\hat{1})| = 2^{n-1}$，确认具有非零 Möbius 函数的元素数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $m$-Tamari 格 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 中，Möbius 函数的结构是什么？
• RQ2 如何仅通过 $m$-Dyck 路径的组合学方法建立 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 的 EL-壳化性？
• RQ3 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 中哪些区间同伦等价于球面或点？
• RQ4 具有非零 Möbius 函数的元素集合与 $m$-Dyck 路径结构之间的确切关系是什么？

主要发现

• 对所有正整数 $m$ 和 $n$，$m$-Tamari 格 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 是 EL-壳化的，这是通过一种新的基于路径的 EL-标记所确立的。
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 的 Möbius 函数仅取值于 \{-1, 0, 1\}，且对所有区间 $[\mathbf{a}, \mathbf{b}]$，有 $\mu(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \in \{-1, 0, 1\}$。
• 所有闭区间在 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 中同伦等价于点或球面，这由 Möbius 函数取值和链结构所确认。
• 在 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 中，满足 $\mu(\mathbf{a}, \hat{1}) \neq 0$ 的元素 $\mathbf{a}$ 的数量恰好为 $2^{n-1}$，同理满足 $\mu(\hat{0}, \mathbf{a}) \neq 0$ 的元素数量也恰好为 $2^{n-1}$。
• $\text{diff}_D(\hat{0})$ 对每个 $D \subseteq \{2, \dots, n\}$ 都非空，而 $\text{diff}_D(\hat{1})$ 仅在 $D = \emptyset$ 或 $D = [i,n]$（对某个 $i \geq 2$）时非空。
• 在 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 中，具有非零 Möbius 函数的元素总数为 $2^{n-1}$，无论是在 $\hat{0}$ 之上的区间还是在 $\hat{1}$ 之下的区间，均确认了格结构的对称性。