[论文解读] The Universality of Zipf's Law for Time-Dependent Rank-Based Random Systems

Ricardo T. Fernholz, Robert Fernholz|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 1

一句话总结

本文確立了時間相關的基於排名的隨機系統（特別是遵循或偏離吉布拉特定律的系統）產生符合齊夫定律或其廣義擬齊夫形式大小分佈的條件。研究顯示，半鞅系統中的守恆性與完整性可確保漸近齊夫或擬齊夫分佈的出現，從而解釋了該定律在多種現實系統中普遍存在的原因。

ABSTRACT

We characterize the conditions under which rank-based systems of continuous semimartingales generate an asymptotic size distribution that satisfies Zipf's law. For a system that follows the strong form of Gibrat's law, with growth rates and volatilities that do not vary across rank, these conditions require that the system be conservative and complete, and are satisfied by many large systems of time-dependent ranked observations. We generalize Zipf's law to a less restrictive form in which a log-log plot of size versus rank does not have to be a straight line of slope -1, but rather has a tangent line of slope -1 at some point. Under certain regularity conditions, we show that the same conditions of conservation and completeness imply that rank-based systems that deviate from Gibrat's law in a specific but realistic manner generate an asymptotic size distribution that is quasi-Zipfian. Because many real-world systems that follow the strong form of Gibrat's law satisfy Zipf's law, and even more systems that do not follow the strong form of Gibrat's law are quasi-Zipfian, our results offer an explanation for the universality of Zipf's law.

研究动机与目标

• 識別連續半鞅基於排名系統產生符合齊夫定律之漸近大小分佈的條件。
• 將齊夫定律推廣至擬齊夫形式，其中大小與排名的雙對數圖在某一點的切線斜率為 -1，而非要求完美直線關係。
• 研究系統在偏離強形式吉布拉特定律（即增長率與波動率與排名無關）的情況下，如何在特定現實偏移下仍產生擬齊夫分佈。
• 透過將經驗上的齊夫定律普遍性與隨機動力學中的結構性特徵（如守恆性與完整性）相連結，解釋其在現實世界系統中廣泛存在的原因。

提出的方法

• 將時間相關的基於排名系統建模為連續半鞅，以分析其長期大小分佈行為。
• 以吉布拉特定律的強形式為基準，即增長率與波動率與排名無關，推導齊夫定律的條件。
• 透過允許大小與排名的雙對數圖在特定點具有斜率為 -1 的切線，而非要求完美線性關係，引入齊夫定律的廣義擬齊夫形式。
• 確立守恆性與完整性為齊夫或擬齊夫分佈出現的必要且充分條件，即使吉布拉特定律僅近似成立亦成立。
• 透過對吉布拉特定律偏移施加正則性條件，證明在增長與波動的現實非均勻擾動下，擬齊夫行為仍能持續。
• 透過半鞅動力學的隨機微積分與極限定理分析系統大小分佈的漸近行為。

实验结果

研究问题

• RQ1 基於排名的連續半鞅系統在何種條件下會產生符合齊夫定律之漸近大小分佈？
• RQ2 如何將齊夫定律推廣至雙對數圖大小與排名非完美直線（斜率 -1）的系統？
• RQ3 當系統以受控且現實的方式偏離吉布拉特定律的強形式時，大小分佈會發生何種變化？
• RQ4 儘管許多系統並未嚴格遵循吉布拉特定律，為何齊夫定律在現實世界系統中如此普遍？
• RQ5 守恆性與完整性在多大程度上可確保基於排名系統中齊夫或擬齊夫行為的出現？

主要发现

• 強形式吉布拉特定律結合系統守恆性與完整性，可確保基於排名的半鞅系統之漸近大小分佈符合齊夫定律。
• 當大小與排名的雙對數圖在某一點具有斜率為 -1 的切線時，即使整體關係非完美線性，亦會出現廣義擬齊夫形式的定律。
• 以特定現實方式偏離吉布拉特定律的系統，在相同守恆性與完整性條件下，仍會產生擬齊夫分佈。
• 守恆性與完整性是基於排名系統中齊夫或擬齊夫行為出現的必要且充分條件。
• 齊夫定律在多種現實世界系統中普遍存在的原因在於，許多系統雖未嚴格遵守吉布拉特定律，但具有守恆性與完整性。
• 理論框架可解釋嚴格齊夫行為與經驗上觀察到的廣泛擬齊夫模式，例如城市規模、企業規模與詞頻。