[论文解读] The variance of the number of prime polynomials in short intervals and in residue classes

Jonathan P. Keating, Zeév Rudnick|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Analytic Number Theory Research被引用 11

一句话总结

该论文解决了素数数论中两个重大猜想在函数域中的类比：短区间内素数的方差（Goldston-Montgomery）以及算术级数中素数的方差（Hooley）。利用 N. Katz 的等分布结果，证明了函数域中短区间和剩余类内素多项式的方差与数域中的猜想行为一致，确认 Hooley 的猜想在函数域设定下可适用于小模数。

ABSTRACT

We resolve a function field version of two conjectures concerning the variance of the number of primes in short intervals (Goldston and Montgomery) and in arithmetic progressions (Hooley). A crucial ingredient in our work are recent equidistribution results of N. Katz.

研究动机与目标

• 建立 Goldston-Montgomery 关于短区间内素数方差的函数域类比。
• 解决 Hooley 关于算术级数中素数方差的函数域版本猜想。
• 证明短区间与剩余类中方差与数域猜想的渐近预测一致。
• 利用 N. Katz 的最新等分布结果，推导出素多项式方差的精确渐近展开。
• 表明 Hooley 的猜想在函数域设定下即使对小模数也成立，与数域情形中的怀疑相反。

提出的方法

• 在 𝔽_q[T] 上采用函数域设定，研究次数为 n 的首一多项式及其 von Mangoldt 函数和。
• 将方差 G(n;Q) 定义为满足 f ≡ A mod Q 且 gcd(f,Q)=1 的多项式 f 的 Λ(f) 偏差平方和。
• 使用涉及成对不同首一多项式 f,g 满足 f≡g mod Q 且 gcd(f,Q)=1 的显式公式表示方差。
• 通过 zeta 函数与 Euler 乘积的生成函数方法，计算 ∑_J 𝔖(JQ)u^{deg J}，其中 𝔖 为与素数分布相关的局部因子。
• 利用围道积分从生成函数中提取系数，从而得到对 J-和的渐近估计。
• 利用 N. Katz 在函数域中 Frobenius 共轭类的等分布定理，证明方差主渐近行为的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数域中短区间内素多项式数量的方差具有怎样的渐近行为？
• RQ2 在函数域设定下，素多项式在算术级数中的方差行为如何，特别是对小模数的情形？
• RQ3 Goldston-Montgomery 与 Hooley 猜想的函数域类比在多大程度上成立？
• RQ4 Katz 的等分布结果能否用于推导素多项式分布中方差的精确渐近展开？
• RQ5 在函数域情形下，即使 Q < X^{1/2}，剩余类中方差是否仍与猜想形式 X log Q 一致？

主要发现

• 函数域中短区间内素多项式数量的方差与 Goldston-Montgomery 猜想一致，方差 ∼ H(log X − log H)，其中 H 满足 X^δ < H < X^{1−δ}。
• 对于算术级数，方差 G(n;Q) 满足 G(n;Q) ∼ q^n (deg Q − |Q|/Φ(Q))，当 q → ∞ 时。
• 在 q → ∞ 且 deg Q ≤ n+1 固定时，方差渐近匹配函数域中定理 2.2 的类比，与已知结果一致。
• 当 deg Q → ∞ 且 q 固定时，方差表现为 G(n;Q) ∼ q^n deg Q，确认 Hooley 猜想在函数域设定下的成立。
• 方差的二阶项 −1/(q−1) 与数域情形不同，表明函数域中存在不同的算术结构。
• 结果确认 Hooley 的猜想 G(X,Q) ∼ X log Q 在函数域模型中即使对 Q 小至 X^ε 也成立，表明其有效性范围广于此前在数域情形中的预期。