[论文解读] The volume of a set of arcs on a variety

Tommaso de Fernex, Mircea Mustaţă|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文引入了代数簇弧空间子集的一个体积不变量，该不变量通过与弧相关联的理想长度的渐近增长来定义。对于科恩-麦克aul伊（Cohen–Macaulay）簇，证明了在闭点处的弧集体积满足 $\operatorname{vol}(C)^{1/n} \cdot \operatorname{jet\text{-}codim}(C) \geq n$，利用梅勒（Mather）对数共形阈值，将经典涉及对数共形阈值与重数的不等式推广到奇异情形。

ABSTRACT

In this paper, we give a definition of volume for subsets in the space of arcs of an algebraic variety, and study its properties. Our main result relates the volume of a set of arcs on a Cohen-Macaulay variety to its jet-codimension, a notion which generalizes the codimension of a cylinder in the arc space of a smooth variety.

研究动机与目标

• 为代数簇弧空间的子集定义并研究一个体积不变量，尤其关注奇异簇的情形。
• 将经典关联列长度、重数与对数共形阈值的不等式推广至奇异的科恩-麦克aul伊簇。
• 建立弧集体积与其喷射-余维数之间的关系，将光滑簇上的结果推广至奇异情形。
• 定义并分析梅勒对数共形阈值作为奇异情形下的关键不变量，替代标准对数共形阈值。

提出的方法

• 将子集 $C \subseteq X_\infty$ 的体积定义为 $\operatorname{vol}(C) = \limsup_{m \to \infty} \frac{\ell(R / \mathfrak{b}_m(C))}{m^n / n!}$，其中 $\mathfrak{b}_m(C)$ 是在 $C$ 中所有弧上阶数至少为 $m$ 的函数的理想。
• 将闭子集 $C \subseteq X_\infty$ 的喷射-余维数定义为 $\operatorname{jet\text{-}codim}(C) = \lim_{p \to \infty} \left( (p+1)n - \dim \overline{\pi_p(C)} \right)$，用于度量在喷射空间中的渐近余维数。
• 使用梅勒对数共形阈值 $\widehat{\operatorname{lct}}(\mathfrak{a})$ 作为对数共形阈值的奇异类比，通过双有理模型与雅可比理想来定义。
• 证明：对于科恩-麦克aul伊簇上的 $\mathfrak{m}$-权理想，不等式 $(n! \cdot \ell(\mathcal{O}_X / \mathfrak{a}))^{1/n} \cdot \widehat{\operatorname{lct}}(\mathfrak{a}) \geq n$ 与 $e(\mathfrak{a})^{1/n} \cdot \widehat{\operatorname{lct}}(\mathfrak{a}) \geq n$ 成立。
• 通过喷射-余维数与体积之间的不等式链，将弧集 $C$ 的体积与理想 $\mathfrak{b}_p(C)$ 的梅勒对数共形阈值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为奇异代数簇弧空间的子集定义一个有意义的体积不变量？
• RQ2 弧集的体积与其在弧空间中的几何余维数之间存在何种关系？
• RQ3 涉及对数共形阈值与重数的经典不等式如何推广至奇异的科恩-麦克aul伊簇？
• RQ4 梅勒对数共形阈值能否在奇异情形下作为标准对数共形阈值的合适替代？
• RQ5 接触集 $\operatorname{Cont}^{\geq m}(\mathfrak{a})$ 的体积的渐近行为如何与梅勒对数共形阈值相关？

主要发现

• 弧集 $C \subseteq X_\infty$ 的体积为有限，当且仅当其在 $X$ 中的像是有限个闭点的有限集。
• 体积满足包含-排除不等式：$\operatorname{vol}(C_1 \cup C_2) + \operatorname{vol}(C_1 \cap C_2) \leq \operatorname{vol}(C_1) + \operatorname{vol}(C_2)$。
• 对于在一点处具有有限支撑的理想 $\mathfrak{a}$，$\operatorname{Cont}^{\geq m}(\mathfrak{a})$ 的体积满足 $m^n \cdot \operatorname{vol}(\operatorname{Cont}^{\geq m}(\mathfrak{a})) \leq (mp)^n \cdot \operatorname{vol}(\operatorname{Cont}^{\geq mp}(\mathfrak{a})) \leq e(\mathfrak{a})$，当 $m$ 足够可被整除时取等。
• 一个集合 $C$ 的喷射-余维数有限，当且仅当 $C$ 包含于有限个有限余维数柱面的有限并集中。
• 对于维数为 $n$ 的科恩-麦克aul伊簇 $X$，任意位于闭点上的弧集 $C$ 均满足主要不等式 $\operatorname{vol}(C)^{1/n} \cdot \operatorname{jet\text{-}codim}(C) \geq n$。
• 在光滑情形下，该不等式退化为 $\operatorname{vol}(C)^{1/n} \cdot \operatorname{codim}(C) \geq n$，从而在光滑情形下恢复了已知结果。