[论文解读] The wave equation on the extreme Reissner-Nordström black hole

Sergio Dain, Gustavo Dotti|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文建立了极端雷斯纳-诺德斯特伦黑洞外部标量波方程解的逐点有界性，证明了紧支集初值会产生一致有界的解及其所有$(t,s,\theta,\phi)$-导数。此外，它表明在视界处可能出现的横向导数发散——此前在一般解中已发现——对于紧支集数据而言更为缓和，因为守恒量$H_\ell[\Phi]$消失，从而抑制了无界增长。

ABSTRACT

We study the scalar wave equation on the open exterior region of an extreme Reissner-Nordström black hole and prove that, given compactly supported data on a Cauchy surface orthogonal to the timelike Killing vector field, the solution, together with its $(t,s,θ,ϕ)$ derivatives of arbitrary order, $s$ a tortoise radial coordinate, is bounded by a constant that depends only on the initial data. Our technique does not allow to study transverse derivatives at the horizon, which is outside the coordinate patch that we use. However, using previous results that show that second and higher transverse derivatives at the horizon of a generic solution grow unbounded along horizon generators, we show that any such a divergence, if present, would be milder for solutions with compact initial data.

研究动机与目标

• 建立极端雷斯纳-诺德斯特伦黑洞外部标量波解在紧支集初值下的逐点有界性。
• 分析此前在一般解中观察到的视界处横向导数无界增长现象是否在紧支集初值解中仍然存在。
• 阐明守恒量$H_\ell[\Phi]$在抑制紧支集初值解的视界不稳定性中的作用。
• 比较一般解（其横向导数增长）与紧支集初值解（其增长更缓和）在视界处横向导数的行为差异。
• 在非闭外部区域中，为所有$(t,s,\theta,\phi)$坐标下的偏导数提供一个简洁的有界性证明。

提出的方法

• 使用各向同性坐标$(t,\rho,\theta,\phi)$和tortoise坐标$s$来参数化极端雷斯纳-诺德斯特伦时空度量。
• 在外部区域$\mathcal{D}$上表述标量波方程$\Box_g\Phi = 0$，初值定义在$t=\text{const}$的柯西曲面$S$上。
• 应用能量估计和守恒律，以控制$(t,s,\theta,\phi)$坐标下导数的增长。
• 分析视界处的守恒量$H_\ell[\Phi] = \partial_r\Phi + \frac{1}{m}\Phi$，该量对紧支集数据为零。
• 利用沿视界生成线的渐近行为$|\Phi| \leq Cv^{-3/5}$来控制高阶径向导数。
• 与阿雷塔基斯（Aretakis）关于无界横向导数的结果进行比较，表明对于紧支集数据，$H_\ell[\Phi]$项消失，从而抑制了最严重的发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 此前在一般解中观察到的视界处二阶及以上横向导数无界增长现象，是否在紧支集初值解中仍然存在？
• RQ2 能否在极端雷斯纳-诺德斯特伦外部区域严格证明标量场及其所有$(t,s,\theta,\phi)$-导数的逐点有界性？
• RQ3 紧支集初值下守恒量$H_\ell[\Phi]$的消失如何影响视界处横向导数的行为？
• RQ4 对于紧支集初值解，$\partial_r^2\Phi$沿视界生成线的精确渐近增长速率是什么？
• RQ5 能否通过识别$H_\ell[\Phi]$的作用，将阿雷塔基斯关于视界不稳定性结果与紧支集初值下的有界性统一起来？

主要发现

• 在极端雷斯纳-诺德斯特伦黑洞外部，对于紧支集初值，标量波方程的解及其所有$(t,s,\theta,\phi)$-任意阶导数均为逐点有界。
• 对紧支集初值，守恒量$H_{\ell=0}[\Phi] = \partial_r\Phi + \frac{1}{m}\Phi$消失，从而防止了视界处$\partial_r\Phi$的无界增长。
• 对于紧支集初值，沿视界生成线有$|\partial_r^2\Phi| \leq C' v^{2/5}$，当$v \to \infty$时，表明其增长比一般解中发现的$v$量级更缓和。
• 阿雷塔基斯研究中报告的最严重横向导数发散源于$\ell=0$模态，但当$H_0 = 0$时，这些发散被抑制，而该条件对紧支集初值成立。
• 由于$\tilde{\Phi}$有界且能量$E[\tilde{\Phi}] < \infty$，表明紧支集初值解可能可延拓至阿雷塔基斯所研究的解类，尽管该延拓尚未被证明。
• 该结果并未排除视界不稳定性，但表明其对紧支集初值更为缓和，因为非平凡$H_\ell[\Phi]$的缺失阻止了在一般解中观察到的$v$-线性发散。