[论文解读] The Weyl problem in warped product space

Chunhe Li, Zhizhang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 16被引用 10

一句话总结

本文建立了三维扭曲积空间中严格凸曲面等距嵌入的开放性，将经典的 Weyl 问题推广至空间形式之外。通过连续性方法并求解线性化等距嵌入系统，无需假设无穷小刚性，作者证明了存在性结果，并在空间形式中重新证明了无穷小刚性，其结果在广义相对论的局部质量定义中具有应用。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the Weyl problem in warped product space. We obtain the openness, non rigidity and some applications. These results together with the a priori estimates obtained by Lu imply some existence results. Meanwhile we reprove the infinitesimal rigidity in the space forms.

研究动机与目标

• 将 Weyl 问题从欧几里得空间和空间形式的环境推广至一般的三维扭曲积空间。
• 通过连续性方法，建立扭曲积空间中严格凸曲面等距嵌入映射的开放性。
• 通过结合先前已建立的闭性定理，证明等距嵌入的存在性结果。
• 利用在扭曲积空间中建立的框架，重新证明空间形式中的无穷小刚性。
• 探索结果在广义相对论中局部质量定义方面的应用，特别是反 de Sitter-Schwarzschild 时空中的情况。

提出的方法

• 将连续性方法应用于扭曲积空间中的等距嵌入问题，通过归一化 Ricci 流构造从标准度量到给定度量的同伦路径。
• 在扭曲积空间中求解线性化等距嵌入系统，无需假设无穷小刚性，与 Nirenberg 的原始方法相区别。
• 利用小扰动参数 $\epsilon$ 对支持函数和度量分量进行泰勒展开，以分析扰动曲面的几何性质。
• 推导扭曲积空间中平均曲率 $H$ 和度量因子 $f$ 的渐近展开式，特别是在 $r=1$ 处，以计算几何不变量。
• 利用 $\mathbb{S}^2$ 上涉及 $\sin^2 u$、$\cos^2 u$ 和 $1-3\sin^2 u$ 的积分恒等式，计算 $Hf - 2\sqrt{1-m+\kappa}f$ 的平均值，将其与局部质量联系起来。
• 依赖 Lu 的工作所得出的 $C^{2,\alpha}$-范数估计与先验界，以确保线性化问题的可解性及嵌入映射的开放性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{S}^2$ 上，何种条件下，具有正高斯曲率的光滑度量可以等距嵌入至三维扭曲积空间？
• RQ2 在一般扭曲积空间中，严格凸曲面的等距嵌入映射的开放性是否成立，且独立于环境空间是否为空间形式？
• RQ3 在扭曲积几何中，线性化等距嵌入系统是否可在不假设无穷小刚性的条件下求解？
• RQ4 扭曲积空间中开放性与存在性结果如何与广义相对论中局部质量的定义及其非负性相关联？
• RQ5 在反 de Sitter-Schwarzschild 时空中，积分 $\int_{\mathbb{S}^2} (H - 2\sqrt{1-m+\kappa}) f \, d\sigma$ 的几何意义为何，其与质量的关系如何？

主要发现

• 本文证明了在 $C^{2,\alpha}$ 拓扑下，能够等距嵌入至三维扭曲积空间中作为严格凸曲面的 $\mathbb{S}^2$ 上光滑度量的集合是开集。
• 该开放性结果无需假设无穷小刚性，表明在扭曲积空间中，线性化等距嵌入系统在一般条件下是可解的。
• 对于高斯曲率 $K > K_0$ 的度量，其中 $K_0$ 为扭曲积空间截面曲率的下确界，本文通过连续性方法建立了等距嵌入的存在性。
• 作者利用其框架重新证明了空间形式中标准球面的无穷小刚性，与经典结果保持一致。
• 证明了对于小扰动，积分 $\int_{\mathbb{S}^2} (H - 2\sqrt{1-m+\kappa}) f \, d\sigma$ 为正，将该几何量与 Brown 和 York 定义的局部质量联系起来。
• 质量类积分的首阶项为 $\frac{3m}{4} \frac{m+2\kappa}{1-m+\kappa} \epsilon^2$，为扰动大小与反 de Sitter-Schwarzschild 时空中质量贡献之间的定量关联提供了依据。