[论文解读] The Witten equation, mirror symmetry and quantum singularity theory

Huijun Fan, Tyler J. Jarvis+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 40被引用 34

一句话总结

该论文通过W-曲线模空间上的虚拟圈，为非退化、准齐次超曲面奇点构建了上同调场论，推广了r自旋理论。它解决了Witten关于ADE奇点自对偶性的猜想，并证明了其与ADE可积哈密顿系统的对应关系，通过匹配A模型和B模型的势函数（使用适当的原初形式和线性映射）建立了镜像对称。

ABSTRACT

For any non-degenerate, quasi-homogeneous hypersurface singularity, we describe a family of moduli spaces, a virtual cycle, and a corresponding cohomological field theory associated to the singularity. This theory is analogous to Gromov-Witten theory and generalizes the theory of r-spin curves, which corresponds to the simple singularity A_{r-1}. We also resolve two outstanding conjectures of Witten. The first conjecture is that ADE-singularities are self-dual; and the second conjecture is that the total potential functions of ADE-singularities satisfy corresponding ADE-integrable hierarchies. Other cases of integrable hierarchies are also discussed.

研究动机与目标

• 通过W-曲线的模空间和虚拟圈，为准齐次奇点构造上同调场论。
• 解决Witten的两个猜想：ADE奇点具有自对偶性，且其总势函数满足ADE可积哈密顿系统。
• 通过原初形式和线性映射，建立A模型（Gromov-Witten型）与B模型（Landau-Ginzburg型）不变量之间的镜像对称。
• 通过考虑非零广义扇区贡献，将r自旋理论推广至任意奇点，包括Dn和E6、E7、E8。
• 证明在特定原初形式和缩放参数（λ, c）选择下，A模型和B模型势函数相匹配。

提出的方法

• 将W-曲线定义为带有满足W-结构的轨道丛线丛的黎曼曲面，推广r自旋曲线。
• 构造具有可接受群G的稳定W-轨道曲线模空间，并定义满足上同调场理论公理的虚拟圈hW(Γ)ivir。
• 使用Lefschetz棱柱和轨道上同调定义奇点的态空间，捕捉奇点的量子上同调。
• 利用虚拟圈定义具有相关函数和势函数的量子上同调场论。
• 通过在B模型侧选择原初形式（例如E6的9 dx1∧dx2）并利用线性映射Ti → (−1)^{1−deg(si)} si应用镜像对称。
• 通过调整缩放参数λ和c以消除四点函数中的符号差异，证明A模型和B模型势函数的匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所提出的量子奇点理论下，ADE奇点是否具有自对偶性？
• RQ2 ADE奇点的总势函数是否满足相应的ADE可积哈密顿系统？
• RQ3 对于一般准齐次奇点，Witten方程是否可用于定义具有非平凡广义扇区贡献的上同调场论？
• RQ4 对于超出r自旋的奇点（如Dn、E6、E7、E8），A模型和B模型不变量在镜像对称下如何匹配？
• RQ5 为确保A模型和B模型态空间之间的同构，应如何选择正确的原初形式和线性映射？

主要发现

• 对于Dn+1奇点，当B模型侧的原初形式选择为(−1)^{−(n−1)/n}倍的标准形式，且λ = −1，c = (−1)^{−(n−1)/n}时，A模型和B模型势函数完全匹配。
• 对于E6，基本四点关联函数满足FB_4 = −FA_4，选择λ = −1和c = (−1)^{−5/6}可使A模型与B模型匹配。
• 对于E7，势函数匹配要求λ = −1且c = (−1)^{−8/9}，从而解决四点函数中的符号差异。
• 对于E8，选择λ = −1且c = (−1)^{−14/15}可确保FA_3 = FB_3且FA_4 = −FB_4，经缩放后实现完全匹配。
• 对于Dn+1(GDn+1)，当原初形式为2n dx，λ = −n/(4n−5)，c = λ^{−(n−1)/n}时，A模型与B模型势函数匹配。
• 对于DTn+1，当原初形式为2n dx1∧dx2时，A模型与B模型势函数满足FA_3+4(T) = FB_3+4(T)，从而完成定理6.1.3的证明。