[论文解读] The Yang-Mills gradient flow and renormalization

Alberto Ramos|arXiv (Cornell University)|May 30, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用 14

一句话总结

本文综述了杨-米尔斯梯度流在规范不变复合算符的非微扰重正化以及格点规范场论中有限、与尺度相关的耦合定义中的应用。通过采用类似扩散的流方程演化规范场，紫外发散被自然抑制，从而实现流观测量的连续极限外推，以及通过小流时间展开实现非微扰重正化。

ABSTRACT

In this proceedings contribution we will review the main ideas behind the many recent works that apply the gradient flow to the determination of the renormalized coupling and the renormalization of composite operators. We will pay special attention to the continuum extrapolation of flow quantities.

研究动机与目标

• 系统化地应用杨-米尔斯梯度流作为格点规范场论中复合算符非微扰重正化的工具。
• 解决基于流的观测量的连续极限外推挑战，特别是控制格点效应和截断效应。
• 探索小流时间展开作为确定算符混合模式和重正化矩阵元的一般框架。
• 通过正流时间下的能量密度建立稳健的有限重正化耦合，实现尺度设定和运行耦合的定义。
• 研究边界条件对截断效应的影响，以及在非平移不变方案中边界反项的必要性。

提出的方法

• 应用梯度流方程 $ \frac{dB_{\mu}}{dt} = D_{\nu}G_{\nu\mu} $，初始条件为 $ B_{\mu}(x,0) = A_{\mu}(x) $，该过程在大小为 $ \sqrt{8t} $ 的区域内对规范场进行平滑，从而消除紫外发散。
• 使用 $ t > 0 $ 时的能量密度 $ \langle E(x,t) \rangle = -\frac{1}{2}\langle \mathrm{Tr} G_{\mu\nu}G_{\mu\nu} \rangle $ 作为有限、重正化的可观测量，其依赖于尺度 $ \sqrt{8t} $。
• 通过 $ g_{\rm GF}^2(\mu) = \frac{16\pi^2}{3} t^2 \langle E(x,t) \rangle \big|_{t = 1/(8\mu^2)} $ 定义运行耦合，确保在连续极限下获得有限、与尺度相关的耦合。
• 通过 $ \mu = 1/(cL) $ 实现有限尺寸标度，使耦合 $ g_{\rm GF}^2(L) $ 在具有可控截断效应的有限体积格点中得以定义。
• 利用小流时间展开 $ E(x,t) = \sum_{\alpha} c_{\alpha}(t) \{O^{\alpha}\}_R(x) + \mathcal{O}(t) $，将短时间行为与重正化算符关联，从而提取矩阵元。
• 通过 $ \gamma_{\alpha}(t) = -2t \frac{d}{dt} \log c_{\alpha}(t) $ 非微扰地确定系数 $ c_{\alpha}(t) $，其值从连通相关函数中提取，微扰理论作为初始条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 杨-米尔斯梯度流如何用于格点规范场论中定义有限、重正化的耦合？
• RQ2 基于流的可观测量中主导的截断效应是什么？如何在连续极限中控制这些效应？
• RQ3 小流时间展开在多大程度上能准确描述复合算符与重正化局部算符的混合？
• RQ4 边界条件如何影响梯度流计算中的标度行为和截断效应？
• RQ5 非微扰地确定小流时间系数能否提高格点QCD中矩阵元计算的精度？

主要发现

• 能量密度 $ \langle E(x,t) \rangle $ 在 $ t > 0 $ 时是有限的，其微扰展开为 $ \langle E(t) \rangle = \frac{3}{16\pi^2 t^2} g_{\overline{MS}}^2(\mu) \left[1 + c_1 g^2_{\overline{MS}}(\mu) + \mathcal{O}(g^4) \right] $，从而实现有限耦合的定义。
• 通过 $ t = 1/(8\mu^2) $ 且 $ \mu = 1/(cL) $ 定义的耦合 $ g_{\rm GF}^2(L) $ 天然地对有限体积敏感，从而可用于尺度设定和运行耦合的确定。
• 周期性和扭曲边界条件保持了平移不变性，避免了 $ \mathcal{O}(a) $ 截断效应，而与之相比，Schrödinger函数或开-SF方案则需要额外的边界反项。
• 小流时间展开 $ E(x,t) = c_1(t) \mathbf{1} + c_2(t) \{F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}\}_R(x) + \mathcal{O}(t) $ 允许通过 $ \{T_{\mu\mu}\}_R(x) = c_2^{-1}(t) \left( E(x,t) - \langle E(x,t) \rangle \right) $ 在 $ t \to 0 $ 极限下提取重正化的能量-动量张量。
• 系数 $ \gamma_2(t) = -2t \frac{d}{dt} \log \langle E(x,t)E(x,s) \rangle_{\rm connected} + \mathcal{O}(t) $ 可从相关函数中提取，用于非微扰地确定 $ c_2(t) $，从而实现非微扰重正化。
• 通过 $ O^{\rm sub}(x,t) = c_3(t) O^{\rm sub}(x,0) + \mathcal{O}(t) $ 计算了核子的奇异成分，其中 $ c_3(t) $ 由Ward恒等式确定，展示了该方法在强子矩阵元中的适用性。