[论文解读] Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes

Leonhard Euler, Artur Diener+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

History and Theory of Mathematics被引用 13

一句话总结

本文提供了若干经典数论定理的原创解析证明，主要证明了有理直角三角形的面积不可能是完全平方数，这表明两个四次方数的和或差也不可能得到一个平方数。欧拉使用无穷递降法和毕达哥拉斯三元组的参数化方法，证明除了 8 + 1 = 9 的情况外，任何立方数加减一都不可能是完全平方数，并进一步推广得出：除了 1 外，没有任何三角数是完全四次方数。

ABSTRACT

Euler proves that the sum of two 4th powers can't be a 4th power and that the difference of two distinct non-zero 4th powers can't be a 4th power and Fermat's theorem that the equation x(x+1)/2=y^4 can only be solved in integers if x=1 and the final theorem y^3+1=x^2 can only be solves for x=3 and y=2 in integers. The paper is translated from Euler's Latin original into German.

研究动机与目标

• 为此前仅被断言或松散推理的经典数论命题提供严谨的解析证明，尤其是费马的命题。
• 解决长期以来关于有理直角三角形面积是否可能为完全平方数的开放问题。
• 证明除了 8 + 1 = 9 的情况外，任何立方数加减一都不可能是完全平方数。
• 将这些结果推广，证明除了 1 外，没有任何三角数是完全四次方数。
• 以清晰的代数形式呈现这些证明，摆脱几何直觉的束缚，以增强可及性与分析上的清晰性。

提出的方法

• 使用无穷递降法证明有理直角三角形的面积不可能是完全平方数。
• 通过互素整数 p 和 q（其中一奇一偶）对本原毕达哥拉斯三元组进行参数化，将直角边表示为 a = p² - q² 和 b = 2pq。
• 应用引理 1：若互素整数的乘积是完全幂，则每个因子本身也必须是完全幂。
• 分析立方形式 a³b + b⁴，以确定其何时可为完全平方数，进而将其转化为一组丢番图方程。
• 通过代换 a + b = c 并基于是否被 3 整除分情况讨论，证明该表达式仅在 a = 2b 时可能为完全平方数。
• 应用有理参数化与代换（例如 m/n = (3qq + pp) / (2pq)），将问题约化为更小的解，从而在非平凡情况下导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 有理直角三角形的面积是否可能为完全平方数？
• RQ2 在何种条件下，立方数加减一可以是完全平方数？
• RQ3 除了 1 外，是否存在其他为完全四次方数的三角数？
• RQ4 两个四次方数的和或差是否可能为完全平方数？
• RQ5 表达式 α³βx⁴ ± αβ³y⁴ 何时可为完全平方数？

主要发现

• 有理直角三角形的面积不可能是完全平方数，这表明两个四次方数的和或差也不可能为完全平方数。
• 唯一满足立方数加一为完全平方数的情况是立方数为 8，此时 9 = 3²。
• 同样地，没有任何立方数减一为完全平方数，即使在有理数范围内亦不成立。
• 对于任意非零整数 x 和 y，表达式 x⁶ + y⁶ 不可能是完全平方数。
• 对于任意非零整数 x 和 y，表达式 x⁶ - y⁶ 不可能是完全平方数。
• 唯一为完全四次方数的三角数是 1，因为 T₁ = 1 = 1⁴。