[论文解读] Theorems of Barth-Lefschetz type on Kaehler manifolds of non-negative bisectional curvature

Meeyoung Kim, Jon Wolfson|ArXiv.org|Feb 9, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文计算了紧致 Hermitian 对称空间的复正性，并将其应用于推广具有非负双截面曲率的 Kähler 流形上的 Barth-Lefschetz 型定理。通过结合路径空间上的 Morse 理论与对称空间中的曲率计算，作者建立了子流形之间包含诱导同态的同伦同构与满射范围，将源自复射影空间的结果推广至所有紧致 Hermitian 对称空间，并基于维数与结构常数给出了明确的拓扑界。

ABSTRACT

Theorems of Barth-Lefschetz type describe restrictions on the topology of varieties of small codimension. R. Schoen and J. Wolfson, using Morse theory on a path space, have described a technique to prove theorems of this kind for complex submanifolds of Kähler manifolds of non-negative holomorphic bisectional curvature. In this paper this program is carried out for the compact Hermitian symmetric spaces. The key technical point is to define and compute an invariant, called the {\it complex positivity}, that measures the ``amount'' of positive curvature, in a suitable sense.

研究动机与目标

• 计算所有紧致 Hermitian 对称空间的复正性不变量 ℓ，这是全纯双截面曲率正性的一个关键数值度量。
• 将 Schoen-Wolfson 在复射影空间中建立的同伦 Barth-Lefschetz 定理推广至所有紧致 Hermitian 对称空间。
• 为这些对称空间中复子流形之间的包含诱导同态提供明确的同伦同构与满射范围。
• 更正并完善原始 [S-W] 工作中关于复二次曲面情形的 Barth-Lefschetz 定理陈述，该陈述此前存在错误。
• 证明 [S-W] 的方法在所有 Hermitian 对称空间中可统一应用，从而将问题简化为标准根系与曲率张量的计算。

提出的方法

• 通过环境 Kähler 流形的曲率张量，计算全纯双截面曲率在所有复直线上的下确界，得到复正性 ℓ。
• 在子流形 M 与 N 之间的路径空间上应用能量的二阶变分公式，临界点对应于同时正交于两者的测地线。
• 利用 Kähler 条件，通过涉及 R(JX, X)Y, JY 的恒等式，将二阶变分表达为全纯双截面曲率的形式。
• 利用 Hermitian 对称空间切空间作为根空间的直和的结构，其中正交基由根 Ψ 索引。
• 应用根系分解，计算 X ∈ 极大阿贝尔子代数时的 ℓ(X ∧ JX)，将问题归约为对根之间非零内积 (α, γ) 的计数。
• 利用各向同性群作用证明 |Ψ′_α| 的最小值与 α 无关，从而得到最终公式 ℓ = |Ψ′_α|，适用于每个对称空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个紧致 Hermitian 对称空间的复正性 ℓ 是多少？它如何决定子流形上的拓扑约束？
• RQ2 Schoen-Wolfson 的 Barth-Lefschetz 型定理能否从复射影空间推广至其他 Hermitian 对称空间？
• RQ3 在这些空间中，子流形之间包含诱导映射 i* 的精确同伦同构与满射范围是什么？
• RQ4 为何原始 [S-W] 声明中复二次曲面情形需要修正？本文如何解决该问题？
• RQ5 根系结构与曲率张量如何决定对称空间中最小曲率值 ℓ？

主要发现

• 复 Grassmannian Gr(p, p+q; ℂ) 的复正性为 ℓ = p + q - 1。
• 实 Grassmannian Gr(2, p+2; ℝ) 的复正性为 ℓ = p - 1。
• Sp(r)/U(r) 的复正性为 ℓ = r。
• SO(2r)/U(r) 的复正性为 ℓ = (r - 1) + (r - 2) = 2r - 3。
• E₆/(Spin(10) × T¹) 的复正性为 ℓ = 11。
• E₇/(E₆ × T¹) 的复正性为 ℓ = 17。