[论文解读] Thickness Formula and C^1-Compactness for C^{1,1} Riemannian Submanifolds

Oguz C. Durumeric|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文为 $C^{1,1}$ 黎曼子流形建立了厚度公式，证明了法向内接半径 $i(K,M)$ 等于几何焦点距离与最短双临界测地线长度一半的最小值。进一步证明了当厚度远离零时，$C^1$-紧致性成立，表明在该约束下仅有有限多个微分同胚与同伦类型存在，且在 $ olinebreak^n$ 中可构造显式上界。这为研究理想纽结与纽结聚合物提供了基础框架。

ABSTRACT

We prove a formula for the normal injectivity radius(thickness)i(K,M)for C^{1,1} compact submanifolds K^k of complete Riemannian manifolds M^n in terms of geometric focal distance and double critical points. We also prove the C^1 compactness of the set of all compact submanifolds K contained in a compact subset D of a fixed manifold M with i(K,M) bounded away from 0. This is an extrinsic and isometric embeddindg type theorem related to Gromov's compactness theorem. This yields the existence of thickest submanifolds in an isotopy class where K is not necessarily connected.

研究动机与目标

• 定义并分析 $C^{1,1}$ 子流形的几何焦点距离，使用度量球。
• 基于几何焦点距离与双临界测地线，推导法向内接半径 $i(K,M)$ 的公式。
• 证明在固定紧子集 $D\subset M$ 中，满足 $i(K,M)\geq c>0$ 的 $C^{1,1}$ 子流形类的 $C^1$-紧致性。
• 为这类子流形建立微分同胚与同伦类型的显式上界，尤其在 $\mathbf{R}^n$ 中。
• 通过厚度最大化为理想纽结与纽结聚合物的研究提供理论基础。

提出的方法

• 将几何焦点距离 $F_g(K)$ 定义为不与 $K$ 横截相交的切于 $K$ 的度量球半径的下确界。
• 将双临界测地线长度 $MDC(K)$ 定义为在两端点均垂直于 $K$ 的最短测地线长度。
• 使用滚动球半径 $R_O(K,M)$，即不与 $K$ 在其他地方相交的切于 $K$ 的开度量球的最大半径。
• 通过分析 $C^{1,1}$ 情形下的法向指数映射与度量几何，证明 $i(K,M) = \min\{F_g(K), \frac{1}{2}MDC(K)\}$。
• 在法坐标或调和坐标下应用体积比较与覆盖论证，估计 $D_\varepsilon$ 的最小覆盖的网格尺寸 $\rho$，以界定同伦类型的数量。
• 将周围空间 $ olinebreak^n$ 重缩放以将厚度归一化为 1，并利用体积与内接半径估计推导显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完备黎曼流形 $M$ 中，$C^{1,1}$ 子流形 $K$ 的法向内接半径 $i(K,M)$ 的精确公式是什么？
• RQ2 在 $C^{1,1}$ 情形下，几何焦点距离如何与厚度及双临界测地线相关？
• RQ3 在固定紧集 $D\subset M$ 中，厚度下界为 $c>0$ 的 $C^{1,1}$ 子流形集合是否为 $C^1$-紧致？
• RQ4 此类子流形的同伦与微分同胚类型的数量能否以 $M$ 的几何不变量为基准进行统一有界？
• RQ5 在 $ olinebreak^n$ 中，此类类型的数量的显式上界是什么？

主要发现

• 对于完备黎曼流形 $M$ 中的任意紧致 $C^{1,1}$ 子流形 $K$，法向内接半径满足 $i(K,M) = \min\{F_g(K), \frac{1}{2}MDC(K)\}$。
• 满足 $i(K,M)\geq \varepsilon>0$ 的 $C^{1,1}$ 子流形 $K\subset D\subset M$ 的集合是 $C^1$-紧致的，确保在 $C^1$ 拓扑下序列收敛。
• 此类子流形的微分同胚与同伦类型数量至多为 $2^{\Lambda_0}$，其中 $\Lambda_0 \leq \left(\frac{4R}{\rho}\right)^n$，且在重缩放后 $R = r/\varepsilon$。
• 在 $\mathbf{R}^n$ 中，此类类型的数量被限制为 $2^{(16R/i_0)^n}$，其中 $i_0 \geq \pi$ 当 $k=1$ 时，$i_0 \geq e^{-\frac{n}{2}(8R)^n}$ 当 $k\geq 2$ 时，具体取决于体积与曲率估计。
• 当 $k=1$（曲线）时，$\rho = \frac{1}{8}$；当 $k\geq 2$ 时，$\rho = \frac{i_0}{4}$，且 $i_0$ 有基于体积与内接半径的下界。
• 这些上界可通过体积估计与曲率控制的覆盖数构造，其依赖于 $\varepsilon$、$n$、$k$ 以及 $D_\varepsilon$ 的内在几何。