[论文解读] Thin elastic plates supported over small areas. I. Korn's inequalities and boundary layers

Giuseppe Buttazzo, Giuseppe Cardone+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文针对在侧边界固支且在大小与板厚 $h \ll 1$ 相当的小区域上被支撑的薄各向异性弹性板，建立了严格的渐近分析。通过推导加权 Korn 不等式并分析小支撑附近的三维边界层，作者建立了 Kirchhoff 板模型的误差估计为 $ch^{1/2}| less h|$，显著优于忽略边界层时的 $| less h|^{-1/2}$ 精度。

ABSTRACT

A thin anisotropic elastic plate clamped along its lateral side and also supported at a small area $θ_{h}$ of one base is considered; the diameter of $θ_{h}$ is of the same order as the plate relative thickness $h\ll1$. In addition to the standard Kirchhoff model with the Sobolev point condition, a three-dimensional boundary layer is investigated in the vicinity of the support $θ_{h}$, which with the help of the derived weighted inequality of Korn's type, will provide an error estimate with the bound $ch^{1/2}|\ln h|$. Ignoring this boundary layer effect reduces the precision order down to $|\ln h|^{-1/2}$.

研究动机与目标

• 分析在侧边界固支且在大小为 $O(h)$ 的小区域上被支撑的薄弹性板的应力-应变状态，其中 $h$ 为板厚。
• 严格考虑经典 Kirchhoff 模型中被忽略的小支撑区域 $\theta_h$ 附近的三维边界层效应。
• 推导一种加权 Korn 型不等式，以捕捉小支撑附近的奇异行为，并实现精确的误差估计。
• 建立当 $h \to 0^+$ 时弹性场的渐近展开，包括由支撑几何形状引起的对数项。
• 为构建能准确反映小支撑机械效应的二维模型提供基础，包含精确的误差界。

提出的方法

• 为一个薄板 $\Omega_h = \omega \times (-h/2, h/2)$ 建立三维线性弹性问题，其侧边界 $\upsilon_h$ 固支，下基面存在小支撑 $\theta_h$。
• 应用 Mandel-Voigt 记法表示应变与应力向量，使胡克定律可表示为具有对称正定刚度矩阵 $A$ 的矩阵形式。
• 在依赖于距支撑 $\theta_h$ 距离的权重下，推导出 $L^2$-范数中的加权 Korn 不等式，以控制小支撑附近位移梯度的奇异行为。
• 构造位移场的渐近假设，包括在 $\theta_h$ 附近的边界层校正项，其中包含 $\rho = |\eta| = h^{-1}|y|$ 和对数项 $\ln \rho$。
• 通过 Kondratiev 渐近方法分析边界层问题的主导项，求解在缩放变量 $\eta = h^{-1}y$ 下的圆外区域中的 PDE 系统。
• 利用 Kondratiev 定理证明边界层解中对数项的出现，特别是在校正项 $\Upsilon^\sharp(\eta)$ 的第三分量中。

实验结果

研究问题

• RQ1 大小为 $O(h)$ 的小支撑区域如何影响薄弹性板中位移场与应力场的渐近行为？
• RQ2 当忽略小支撑附近三维边界层时，经典 Kirchhoff 板模型的最优误差估计是什么？
• RQ3 能否推导出一种加权 Korn 不等式，以捕捉小支撑区域 $\theta_h$ 附近应变场的奇异行为？
• RQ4 对数项 $\ln \rho$ 在位移场渐近展开中起什么作用，它们如何由支撑的几何形状与弹性方程产生？
• RQ5 与标准 Kirchhoff 模型相比，包含边界层校正项如何提高二维板模型的精度？

主要发现

• 推导出一种加权 Korn 不等式，可控制在小支撑区域存在时的应变 $L^2$-范数，权重依赖于距 $\theta_h$ 的距离。
• 小支撑附近的边界层在位移场的渐近展开中引入了对数项，特别是校正项 $\Upsilon^\sharp(\eta)$ 中，这是由于奇异 PDE 系统的解所致。
• 当正确考虑边界层时，Kirchhoff 板模型的误差估计为 $O(h^{1/2}| less h|)$，显著优于忽略边界层时的 $O(| less h|^{-1/2})$ 估计。
• 位移场的主导阶校正项包含 $\rho^{-1}\ln \rho$ 和 $\rho^{-1}$ 项，其中 $\rho = |\eta| = h^{-1}|y|$，表明边界层中存在对数奇异性。
• 边界层问题的解 $\Upsilon^\sharp(\eta)$ 依赖于问题的完整数据，包括支撑 $\theta$ 的形状与位置，并通过层状区域中的渐近定理唯一确定。
• 利用 Kondratiev 定理对渐近行为在具有锥形或角形奇点的区域中的研究，严格证明了 $\ln \rho$ 项在解中出现的必要性，确认了其在展开式中的存在是合理的。