[论文解读] Thoroughly Distributed Colorings

Wayne Goddard, Michael A. Henning|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Dye analysis and toxicity参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文全面研究了图中彻底分布的染色，其中每种颜色类均构成一个总支配集。研究证明，最小度数至少为2的无爪图的分数总支配数（FTD）至少为1.5，并证明了平面图的总支配数（td）至多为4，且在若干情况下边界是紧致的；同时提出猜想：所有平面三角剖分图的总支配数至少为2，所有连通的3-正则图的分数总支配数至少为2。

ABSTRACT

We consider (not necessarily proper) colorings of the vertices of a graph where every color is thoroughly distributed, that is, appears in every open neighborhood. Equivalently, every color is a total dominating set. We define $ d(G)$ as the maximum number of colors in such a coloring and $\FTD(G)$ as the fractional version thereof. In particular, we show that every claw-free graph with minimum degree at least~$2$ has~$\FTD(G)\ge 3/2$ and this is best possible. For planar graphs, we show that every triangular disc has $\FTD(G) \ge 3/2$ and this is best possible, and that every planar graph has $ d(G) \le 4$ and this is best possible, while we conjecture that every planar triangulation has $ d(G)\ge 2$. Further, although there are arbitrarily large examples of connected, cubic graphs with $ d(G)=1$, we show that for a connected cubic graph $\FTD(G) \ge 2-o(1)$, and conjecture that it is always at least~$2$. We also consider the related concepts in hypergraphs.

研究动机与目标

• 研究顶点染色，使得每种颜色在每个开邻域中均出现，即每种颜色类是一个总支配集。
• 定义并分析分数总支配数 FTD(G)，即总支配数 td(G) 的松弛形式。
• 为特定图类（包括无爪图、平面图和3-正则图）建立 FTD(G) 和 td(G) 的紧致下界与上界。
• 解决开放问题，并就平面图与3-正则图中多个不相交的总支配集的存在性提出新猜想。

提出的方法

• 将彻底分布族 F 定义为总支配集的集合，其有效比率为 |F| / r_F，其中 r_F 是 F 中顶点的最大重数。
• 将 FTD(G) 定义为所有此类族 F 的有效比率的上确界。
• 利用线性规划对偶性与超图横切集技术来界定 FTD(G)，特别是将其与总支配集超图中的分数匹配联系起来。
• 通过组合与结构论证，利用超图2-染色与2-因子的已知结果，证明无爪图与平面图的 FTD(G) 的下界。
• 利用超图理论中的结果，如3-一致超图的近似2-染色，推导3-正则图的 FTD(G) 的下界。
• 通过计算机辅助验证与极值构造（例如Kleetope图、Heawood图）来检验猜想并界定极值情况下的数值。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于最小度数至少为2的无爪图，FTD(G) 的最小可能值是多少？1.5 是否为紧致边界？
• RQ2 每个平面三角剖分图是否都能被划分为两个不相交的总支配集？该猜想是否紧致？
• RQ3 当 td(G) = 1 时，FTD(G) 的最大可能值是多少？在极值情况下它能大到多大？
• RQ4 每个连通的3-正则图是否都满足 FTD(G) ≥ 2？该边界是否紧致，或可进一步改进？
• RQ5 所有3-一致的3-正则超图是否都存在四个横切集，使得每个顶点至多属于其中两个？

主要发现

• 每个最小度数至少为2的无爪图均满足 FTD(G) ≥ 1.5，且该边界为最优。
• 每个三角形盘（triangular disc）均满足 FTD(G) ≥ 1.5，且该边界为紧致。
• 每个平面图均满足 td(G) ≤ 4，且该上界为紧致，由特定构造证明。
• 对于最大外平面图，当且仅当其阶数满足 n ≡ 2 (mod 4) 时，不存在两个不相交的总支配集。
• 连通3-正则图的分数总支配数满足 FTD(G) ≥ 2 - o(1)，并猜想所有此类图均有 FTD(G) ≥ 2。
• Heawood图在 td(G) = 1 时达到 FTD(G) = 7/3，表明即使 td(G) = 1，FTD(G) 仍可超过2。