[論文レビュー] Three Lectures On Topological Phases Of Matter

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Topological Materials and Phenomena参考文献 32被引用数 168

ひとこと要約

この論文は、自由フェルミオンバンド理論と有効場理論を用いて、物質の位相的性質について教育的導入を行う。主な焦点は、結晶内の相対論的低エネルギー励起、ワイルおよびディラックフェルミオン、および量子ホール効果である。バンド構造から出現するトポロジカルな不変量（チーン数やベリー位相など）が、頑健なギャップなしエッジ状態や量子化された輸送をもたらす仕組みを示しており、主な結果として、対称性を保つ摂動のもとでもグラフェンにおけるディラック点の安定性、およびチャーン＝シモンズ場理論から整数および分数量子ホール効果が生じることを示している。

ABSTRACT

These notes are based on lectures at the PSSCMP/PiTP summer school that was held at Princeton University and the Institute for Advanced Study in July, 2015. They are devoted largely to topological phases of matter that can be understood in terms of free fermions and band theory. They also contain an introduction to the fractional quantum Hall effect from the point of view of effective field theory.

研究の動機と目的

• 非相互作用フェルミオンバンド理論と有効場理論を用いて、物質の位相的相を説明すること。
• グラフェンや量子ホール状態のような系において、トポロジーがギャップなしエッジモードと量子化された輸送を安定化させる役割を明確にすること。
• チャーン＝シモンズ有効作用と、2+1次元系における量子化されたホール伝導度との関係を導入すること。
• 群論とベリー位相を用いて、対称性を保つ摂動のもとでのグラフェンにおけるディラック点の安定性を分析すること。
• 整数および分数量子ホール効果を場理論的視点から分析し、異常流入とエッジ状態の関係に焦点を当てる。

提案手法

• 1次元および3次元におけるバンドギャップ付近の相対論的分散関係を導出し、線形化がヘリカルフェルミオンを生じることを示す。
• ベリー接続と曲率を用いて、運動量空間におけるトポロジカル不変量（チーン数）を定義する。
• ニールセン＝ニノミヤの定理を適用し、1次元周期的系において右回りおよび左回りモードが等数存在することを説明する。
• 2+1次元におけるチャーン＝シモンズ有効作用を構築し、量子化されたホール伝導度とバンド位相との関係を記述する。
• 異常流入を用いてエッジ状態を分析し、バルクのトポロジカル不変量がギャップなしエッジモードを制約することを示す。
• ヘキサゴナル格子上の最近接項 hopping を持つタイトバインディングモデルを用いて、ディラックハミルトニアンを導出し、ブリユアンゾーンの角にディラック点を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由フェルミオン系において、チーン数のようなトポロジカル不変量はバンド構造からどのように出現するのか？
• RQ2 ギャップなしエッジモードがトポロジカル絶縁体で保護される理由は何か？ そして、バルク位相とどのように関係しているのか？
• RQ3 グラフェンにおけるディラック点の安定化に、対称性が果たす役割は何か？ また、ギャップの開くのを防ぐのはなぜか？
• RQ4 チャーン＝シモンズ有効作用は、2+1次元系におけるホール伝導度の量子化をどのように説明するのか？
• RQ5 分数量子ホール効果は有効場理論からどのように生じるのか？ 任意ons統計が果たす役割は何か？

主な発見

• 1次元系では、運動量空間の周期性が右回りおよび左回りモードの数を等しく強制し、これが異常キャンセレーションを保証する。
• 3次元系では、ニールセン＝ニノミヤの定理により、単一のワイルフェルミオンは不可能であり、必ず相反するヘリシティを持つ2つのワイル点が必要となる。
• グラフェンのヘキサゴナル格子におけるディラック点は、時間反転対称性および点群対称性によって保護され、小さな対称性を保つ摂動に対してもギャップなしのままである。
• グラフェンの2つのディラック点は、それらを入れ替える60度回転対称性により、エネルギーで degenerate である。
• チャーン＝シモンズ有効作用は、整数量子ホール効果におけるνが整数である場合に、σxy = νe²/h として量子化されたホール伝導度を正確に再現する。
• スピン軌道相互作用を含めると、グラフェンにおけるスピン量子ホール効果が現れ、スピン上昇およびスピン下降チャンネルのトポロジカル不変量がそれぞれ2となる。