[论文解读] Three remarks on one dimensional bi-Lipschitz conjugacies

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用 9

一句话总结

本文研究在一维 $C^r$ 圆周微分同胚作用之间，双李普希茨共轭何时必然为 $C^r$ 微分同胚。通过使用格特施克-黑德兰德引理的等变版本，证明了在极小、非自由且遍历的作用下，此类共轭确实是 $C^r$。然而，在非极小情形下，构造了显式例子，表明存在双李普希茨共轭并非 $C^1$，说明该结果无法普遍推广。

ABSTRACT

We show that bi-Lipschitz conjugacies between non singular one dimensional systems are forced to be smooth, at least in the minimal (and ergodic) case. This is however far from being true in the non minimal case. These results clarify a classical work by Ghys and Tsuboi.

研究动机与目标

• 确定双李普希茨共轭在何种条件下必然为 $C^r$ 微分同胚。
• 澄清格里斯与津芳伊关于 $C^1$ 共轭可延拓为 $C^r$ 微分同胚的古典结果，在双李普希茨共轭情形下能多大程度推广。
• 研究极小性、遍历性以及稳定子群结构在决定共轭正则性中的作用。
• 构造显式反例，表明在非极小情形下，双李普希茨共轭未必是 $C^1$。
• 证明共轭问题在双李普希茨情形下无法总归约为中心化子问题，即使共轭是双李普希茨的。

提出的方法

• 将经典格特施克-黑德兰德引理推广至群作用，证明极小作用下的等变版本。
• 利用等变引理，证明在极小性和遍历性条件下，双李普希茨共轭所诱导的有界上循环蕴含光滑性。
• 构造一列长度趋于零的区间，分别在其上定义 $C^\rho$ 微分同胚，且控制其 $C^r$ 范数。
• 定义一个双李普希茨映射 $\phi_0$，通过不同比例（4/3 和 2/3）重缩放区间，诱导出两个 $C^\infty$ 微分同胚之间的共轭。
• 通过证明共轭下区间长度之比不收敛，从而导出导数连续性的矛盾，证明不存在 $C^1$ 共轭。
• 利用汤普森群将构造嵌入一个具有异常极小集的圆周作用中，同时保持非 $C^1$ 共轭性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非自由 $C^r$ 圆周微分同胚作用之间的双李普希茨共轭必然为 $C^r$？
• RQ2 格里斯与津芳伊关于 $C^1$ 共轭可延拓为 $C^r$ 微分同胚的古典结果，是否可推广至双李普希茨共轭？
• RQ3 当作用非极小时，双李普希茨共轭是否可能不是 $C^1$？
• RQ4 在双李普希茨情形下，共轭问题是否可约化为中心化子问题？
• RQ5 能否构造实解析的例子，使得双李普希茨共轭存在但 $C^1$ 共轭不存在？

主要发现

• 对于极小、非自由且遍历的 $C^r$ 圆周作用，任意双李普希茨共轭必然是 $C^r$ 微分同胚。
• 在非极小情形下，存在 $C^\infty$ 圆周作用，其双李普希茨共轭并非 $C^1$，甚至在每个开区间上都不可微。
• 此类共轭的构造依赖于非收敛比例序列（4/3 和 2/3）的区间重缩放，从而破坏了 $C^1$ 正则性。
• 在构造的 $C^\infty$ 微分同胚之间，不存在 $C^1$ 共轭，因为导数之比在聚点处不收敛。
• 该共轭无法约化为中心化子问题，因为尽管作用是双李普希茨共轭的，但不存在任何 $C^1$ 映射实现共轭。
• 结果可通过标准推广方式延拓至余维一叶状结构与一维伪群。