[论文解读] Tidal evolution of the Keplerian elements

Gwenaël Boué, Michael Efroimsky|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Astro and Planetary Science参考文献 48被引用 55

一句话总结

本文重新推导了双星系统中开普勒轨道元素（a, e, i）的潮汐演化速率，该系统中两颗天体均存在潮汐作用，修正了先前研究中的错误——特别是Kaula（1964）的公式。结果表明，虽然半长轴和偏心率的演化速率可在线性叠加两体贡献后得到，但倾角变化率 di/dt 需要通过角动量守恒和近日点进动平均进行非平凡修正，从而得出修正后的表达式，消除了冗余的 M/(M+M') 因子，并引入了主星赤道面调整带来的新项。

ABSTRACT

We address the expressions for the rates of the Keplerian orbital elements within a two-body problem perturbed by the tides in both partners. The formulae for these rates have appeared in the literature in various forms, at times with errors. We reconsider, from scratch, the derivation of these rates and arrive at the Lagrange-type equations which, in some details, differ from the corresponding equations obtained previously by Kaula (1964). We also write down detailed expressions for $da/dt$, $de/dt$ and $di/dt$, to order $e^4$. They differ from Kaula's expressions which contain a redundant factor of $M/(M+M^{\prime}),$ with $M$ and $M^{\prime}$ being the masses of the primary and the secondary. As Kaula was interested in the Earth-Moon system, this redundant factor was close to unity and was unimportant in his developments. This factor, however, must be reinstated when Kaula's theory is applied to a binary composed of partners of comparable masses. We have found that, while it is legitimate to simply sum the primary's and secondary's inputs in $da/dt$ or $de/dt$, this is not the case for $di/dt$. So our expression for $di/dt$ differs from that of Kaula in two regards. First, the contribution due to the dissipation in the secondary averages out when the apsidal precession is uniform. Second, we have obtained an additional term which emerges owing to the conservation of the angular momentum: a change in the inclination of the orbit causes a change of the primary's plane of equator.

研究动机与目标

• 重新推导双星系统中开普勒轨道元素（a, e, i）的潮汐演化速率，修正先前公式中的不一致之处。
• 识别并修正Kaula（1964）公式中 da/dt、de/dt 和 di/dt 表达式中的冗余因子 M/(M+M')，该因子在地月系统中可忽略，但在可比较质量双星中至关重要。
• 通过考虑角动量守恒与近日点进动平均，解决 di/dt 的非平凡行为，从而证明简单叠加潮汐贡献的方法不成立。
• 提供以潮汐品质函数、Love数和轨道参数表示的 da/dt、de/dt 和 di/dt 的显式高阶（高达 e⁴）表达式。
• 阐明在非惯性（共进动）参考系中轨道元素的参考系依赖性，并纠正此类设置下拉格朗日型方程的误用。

提出的方法

• 使用Kaula（1964）的展开方法重新推导潮汐扰动势，适用于任意流变模型，补全省略的推导步骤并识别隐含近似。
• 采用约化质量 β = MM'/(M+M') 的一般双体运动方程，避免Kaula所采用的 M≫M' 假设。
• 在共进动参考系中应用拉格朗日行星方程，通过引入标准扰动函数之外的附加项，校正非惯性效应。
• 通过对方程中扰动函数对正则变量的微分，计算轨道元素的时间导数（da/dt、de/dt、di/dt），并利用潮汐强迫的傅里叶模展开。
• 通过分析 di/dt 对 ω、Ω、i 和 i′ 的依赖关系，识别在均匀近日点进动下消失的项，从而处理 di/dt 中的非线性耦合。
• 通过引入 J₂ 位势贡献并平均均近点角，分离 di/dt 的长期与振荡分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何Kaula（1964）的 di/dt 表达式中包含冗余的 M/(M+M') 因子？该因子在何种情况下变得显著？
• RQ2 在何种条件下，da/dt 和 de/dt 的潮汐贡献可简单叠加？为何该方法在 di/dt 中失效？
• RQ3 具体而言，角动量守恒与近日点进动如何导致 di/dt 中出现Kaula公式中不存在的新项？
• RQ4 da/dt、de/dt 和 di/dt 如何依赖于轨道偏心率 e，直至 O(e⁴) 阶？其主要强迫频率为何？
• RQ5 次星的潮汐耗散在主星倾角演化中起何作用？为何在均匀近日点进动下其效应会平均为零？

主要发现

• di/dt 的表达式与Kaula（1964）存在根本性差异：其一，次星的潮汐耗散贡献在均匀近日点进动下平均为零；其二，主星赤道面因轨道倾角变化而发生位移，由此产生新项。
• 当应用于可比较质量双星时，必须从Kaula公式的 da/dt、de/dt 和 di/dt 中移除冗余因子 M/(M+M')，否则将导致 da/dt、de/dt 和 di/dt 的显著误差。
• 对于 da/dt 和 de/dt，主星与次星的贡献可线性叠加，但该方法对 di/dt 不成立，因其受参考系依赖性与非线性耦合效应影响。
• di/dt 的主导项包含与 sin i 及潮汐品质函数 K₂(ω) 成正比的项，其强迫具有频率依赖性，如 K₂(n−2θ)、K₂(2n−2θ) 等，并新增了与主星自转速率 ˙θ 相关的项。
• 本文提供了 da/dt、de/dt 和 di/dt 的显式高精度表达式，最高至 O(e⁴) 阶，包含 (lmpq) = (220q)、(210q) 和 (211q) 模式的贡献，并对偏心率与倾角进行了修正。
• 通过引入 J₂ 位势并平均均近点角，推导出 di/dt 中的长周期振荡项，揭示了次星引力位势与潮汐响应带来的额外调制效应。