[论文解读] Tight Approximation Algorithms For Geometric Bin Packing with Skewed Items

Arindam Khan, Eklavya Sharma|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Optimization and Packing Problems被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对具有偏斜项的二维几何装箱问题（2BP）的 (4/3 + ε)-渐近近似算法——即矩形的宽高均被常数 δ 严格远离零的项。该方法采用一种新颖的分 compartment 装箱框架，结合分数线性规划与贪心分配，实现了紧致界，证明了偏斜实例下渐近无切割代价（APoG）的精确值为 4/3，解决了该领域的一个关键猜想。

ABSTRACT

In the Two-dimensional Bin Packing (2BP) problem, we are given a set of rectangles of height and width at most one and our goal is to find an axis-aligned nonoverlapping packing of these rectangles into the minimum number of unit square bins. The problem admits no APTAS and the current best approximation ratio is 1.406 by Bansal and Khan [SODA'14]. A well-studied variant of the problem is Guillotine Two-dimensional Bin Packing (G2BP), where all rectangles must be packed in such a way that every rectangle in the packing can be obtained by recursively applying a sequence of end-to-end axis-parallel cuts, also called guillotine cuts. Bansal, Lodi, and Sviridenko [FOCS'05] obtained an APTAS for this problem. Let λ be the smallest constant such that for every set I of items, the number of bins in the optimal solution to G2BP for I is upper bounded by λ opt(I) + c, where opt(I) is the number of bins in the optimal solution to 2BP for I and c is a constant. It is known that 4/3 ≤ λ ≤ 1.692. Bansal and Khan [SODA'14] conjectured that λ = 4/3. The conjecture, if true, will imply a (4/3+ε)-approximation algorithm for 2BP. According to convention, for a given constant δ > 0, a rectangle is large if both its height and width are at least δ, and otherwise it is called skewed. We make progress towards the conjecture by showing λ = 4/3 for skewed instance, i.e., when all input rectangles are skewed. Even for this case, the previous best upper bound on λ was roughly 1.692. We also give an APTAS for 2BP for skewed instance, though general 2BP does not admit an APTAS.

研究动机与目标

• 解决关于二维几何装箱问题（2BP）中偏斜实例的渐近无切割代价（APoG）是否恰好为 4/3 的猜想。
• 为受限于偏斜项的 2BP 构建一个渐近多项式时间近似方案（APTAS）。
• 将偏斜实例下 APoG 的上界从约 1.691 改进至 4/3，其中所有矩形在两个维度上均被远离零的常数所限制。
• 在一般问题不支持 APTAS 的前提下，为偏斜情况下的 2BP 提供一个紧致的近似算法。

提出的方法

• 提出一种分 compartment 装箱框架，将箱子划分为用于大中型物品的 compartment，小型物品通过基于容器的贪心分配方式装箱。
• 使用分数线性规划（FPW 和 FPH）检查大件与高件在 compartment 中装箱的可行性，最优解作为贪心装箱过程的输入。
• 应用一种舍入过程，将实数值的物品尺寸转换为有理数近似值，从而实现对装箱方案的有限枚举。
• 在分 compartment 装箱后，使用首次适应递减高度（NFDH）算法对剩余的中型与小型物品进行装箱。
• 引入一种贪心容器分配策略，确保未装箱区域不超过容器面积的 ε²，从而最小化浪费。
• 利用偏斜物品的结构特性（在两个维度上均有下界），限制不同配置的数量，从而实现对 compartment 装箱方案的高效枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明在 2BP 的偏斜实例中，渐近无切割代价（APoG）恰好为 4/3？
• RQ2 当所有物品均为偏斜项时，2BP 是否存在一个 (4/3 + ε)-渐近近似算法？
• RQ3 尽管一般 2BP 问题不支持 APTAS，能否为受限于偏斜实例的 2BP 构建一个 APTAS？
• RQ4 对于偏斜输入，最优无切割装箱与一般 2BP 之间的比值的最紧上界是多少？

主要发现

• 确认了在偏斜实例中，渐近无切割代价（APoG）的精确值为 4/3，验证了 Bansal 和 Khan 的一个猜想。
• 为具有偏斜项的 2BP 实现了 (1 + 20ε)opt(I) + O(1) 的渐近近似算法，优于此前最佳比值 1.406。
• 为受限于偏斜实例的 2BP 构建了 APTAS，这是在一般 2BP 问题中无法实现的结果。
• 该算法所用的箱子数量被限制在 (1 + 20ε)opt(I) + 1/13(1 + 1/εε₁)^(2/ε₁−2) + 23 以内，且明确依赖于 ε 和 δ。
• 通过结合分数线性规划的可行性检查、贪心容器分配以及对剩余物品的 NFDH 算法，该框架实现了紧致装箱。
• 分析表明，所有容器中未装箱的总面积被限制在 3ε²mS 以内，从而确保了高装箱效率。