[论文解读] Tight FPT Approximations for Fair $k$-center with Outliers

Ameet Gadekar|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2026

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一句话总结

提供了在参数 k 的 FPT 时间内，第一个确定性 3-近似算法用于含离群值的公平 k-中心问题，并将该方法扩展到含离群值的公平 k-供给问题和公平范围约束。

ABSTRACT

The $k$-center problem is a fundamental clustering objective that has been extensively studied in approximation algorithms. Recent work has sought to incorporate modern constraints such as fairness and robustness, motivated by biased and noisy data. In this paper, we study fair $k$-center with outliers, where centers must respect group-based representation constraints while up to $z$ points may be discarded. While a bi-criteria FPT approximation was previously known, no true approximation algorithm was available for this problem. We present the first deterministic $3$-approximation algorithm running in fixed-parameter tractable time parameterized by $k$. Our approach departs from projection-based methods and instead directly constructs a fair solution using a novel iterative ball-finding framework, based on a structural trichotomy that enables fixed-parameter approximation for the problem. We further extend our algorithm to fair $k$-supplier with outliers and to the more general fair-range setting with both lower and upper bounds. Finally, we show that improving the approximation factor below $3$ is $\mathrm{W[2]}$-hard, establishing the optimality of our results.

研究动机与目标

• 在嘈杂数据中推动鲁棒且公平的基于中心的聚类。
• 在参数 k 的 FPT 时间内实现对含离群值的公平 k-中心问题的真正单目标近似。
• 开发一个直接的、非投影基的方法，在构建过程中保持公平性。
• 将该方法扩展到含离群值的公平 k-供给与公平范围约束。
• 在标准复杂度假设下，通过 W[2]-Hardness 结果确立 3-近似的最优性。

提出的方法

• 从含离群值的公平 k-中心问题到含离群值的彩色 k-供给问题的近似保持性化简，使用颜色编码将组合并。 在 FPT 时间内的迭代球搜索框架，针对稳定区域在 OPT 规模下进行探测，并由结构性三分法引导。 对含离群值的彩色 k-供给问题提出 3-近似算法，运行时间为 2^{O(k log k)} · poly(n)。 通过分阶段的迭代过程中的覆盖充费论证，确保覆盖一个最优聚类。 通过去偏置实现得到确定性版本，时间为 2^{O(k)} poly(|X|)。 通过归约将单位组和公平范围约束扩展到类似的迭代过程。

Figure 1 : The rectangle represents the full point set, while the colored discs correspond to the optimal clusters, with the remaining area representing outliers. The relative sizes of the discs illustrate the densities of the clusters. The iterative ball-finding subroutine is invoked for the denses

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在参数 k 的 FPT 时间内获得对含离群值的公平 k-中心问题的真正单目标近似？
• RQ2 在标准复杂度假设下，这个问题的 3-近似是否是最优的，是否可以在 FPT 时间内改进？
• RQ3 该方法能否扩展到含离群值的公平 k-供给和公平范围约束，同时保持近似因子和 FPT 运行时间？
• RQ4 在构建过程中如何在没有投影的方法的情况下强制实现公平性约束，即使存在离群值？
• RQ5 将近似因子提升至 3 以外的 hardness 对含离群值的公平 k-中心意味着什么？

主要发现

• 存在一个确定性的 3-近似算法用于含离群值的公平 k-中心，时间为 2^{O(k log k)} · poly(n)。
• 存在一个确定性的 3-近似算法用于含离群值的公平 k-供给，时间为 2^{O(k log k)} · poly(n)（Corollary 2）。
• 存在一个确定性的 3-近似算法用于含离群值的公平范围 k-中心，时间为 2^{O(k log k)} · poly(n)（Theorem 3）。
• 在标准假设下，若将近似因子提升到 3 以下则是 W[2]-hard，意味着在 FPT 时间内 3-近似是最优的。
• 从含离群值的公平 k-中心到彩色 k-供给的归约及其去偏置使得在不诉诸投影的情况下也能解决结构化的彩色实例，克服了此前妨碍单目标保证的问题。
• 结果将该框架扩展到单位组要求和广义约束设置，同时保持相同的 FPT 时间与 3-近似保证。