[论文解读] Tiling, spectrality and aperiodicity of connected sets

Rachel Greenfeld, Mihail N. Kolountzakis|arXiv (Cornell University)|May 23, 2023

Quasicrystal Structures and Properties被引用 7

一句话总结

作者通过维度提升和折叠桥接技术构造了同时对周期性铺 tiling 对和 Fuglede 猜想的连通反例，并展示在特定维度扩增下谱性/铺 tiling 属性的行为。

ABSTRACT

Let $Ω\subset \mathbb{R}^d$ be a set of finite measure. The periodic tiling conjecture suggests that if $Ω$ tiles $\mathbb{R}^d$ by translations then it admits at least one periodic tiling. Fuglede's conjecture suggests that $Ω$ admits an orthogonal basis of exponential functions if and only if it tiles $\mathbb{R}^d$ by translations. Both conjectures are known to be false in sufficiently high dimensions, with all the so-far-known counterexamples being highly disconnected. On the other hand, both conjectures are known to be true for convex sets. In this work we study these conjectures for connected sets. We show that the periodic tiling conjecture, as well as both directions of Fuglede's conjecture are false for connected sets in sufficiently high dimensions.

研究动机与目标

• 研究在 tile 连通时，高维空间中平移平铺的 tile 是否必须具有周期性铺 tiling。
• 考察将谱性集合与平移铺 tiling 联系起来的 Fuglede 猜想在欧几里得空间中对连通集的适用性。
• 开发能够在连接不同分量的同时保持铺 tiling 与谱性属性的维度提升技术。
• 给出在更高维度中可产生连通、非周期性平移 tile 和连通谱性非 tile 的构造。

提出的方法

• 提出一种保持非周期性的新操作，通过折叠桥接将 Z^d 中的有限 tile F 提升到 Z^{d+2} 中的连通 tile F'。
• 证明折叠桥接操作保留非周期性与铺 tiling 性质（定理2.1）。
• 通过在更高维中嵌入桥接，扩展此法以构建不可铺 tiling 的连通谱性集合（定理1.4）。
• 通过迭代螺旋桥接增强，构建在高维中不是谱性的连通平移 tile（定理1.5）。
• 使用乘积铺 tiling 与谱性保持论证，证明某些增加后的集合继承铺 tiling 或谱性属性（定理3.1）。
• 利用堆叠与桥接技巧，将低维集合的性质联系到高维连通构造之上。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 tile 连通时，充分高维是否必然允许平移平铺（periodic tiling）？
• RQ2 在高维中，连通集合通过平移铺 tiling 是否必然具有谱结构，反之亦然（Fuglede 猜想）？
• RQ3 是否可以在不破坏铺 tiling 或谱性属性的前提下，将不连通的反例转化为连通反例？
• RQ4 哪些鲁棒操作在维度提升下能保持铺 tiling/谱性属性（如折叠桥、螺旋桥、堆叠）？

主要发现

• 在足够高的维度中，存在通过平移进行铺 tiling 但仅非周期性的连通集合（非周期性 tile）。
• 在足够高的维度中，存在连通的谱性集合但不通过平移铺 tiling。
• 存在在高维中不可谱的连通平移 tile。
• 某些维度提升操作保持铺 tiling 与谱性属性（折叠桥及其变体）。
• 在 Z^d+2 的折叠桥构造可连接一个非连通的非周期性 tile 的分量，同时保持非周期性和铺 tiling，生成连通的非周期性 tile。
• 在高维中，螺旋桥接构造产生能铺 tiling 的连通 tile，但是非谱性的（且通过迭代保持非谱性）。