[论文解读] Time-convexity of the entropy in the multiphasic formulation of the incompressible euler equation

Hugo Lavenant|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文证明，在凸域中，Brenier 提出的不可压缩 Euler 方程多相形式中的时间平均熵关于时间是凸的，从而证实了 Brenier 的一个猜想。作者引入一种受 JKO 格式启发的时间离散化流互换不等式，以此建立该结果，利用 Wasserstein 空间中的凸性和不可压缩性约束。

ABSTRACT

We study the multiphasic formulation of the incompressible Euler equation introduced by Brenier: infinitely many phases evolve according to the compressible Euler equation and are coupled through a global in-compressibility constraint. We are able to prove that the entropy, when averaged over all phases, is a convex function of time, a result that was conjectured by Brenier. The novelty in our approach consists in introducing a time-discretization that allows us to import a flow interchange inequality previously used by Matthes, McCann and Savar{\\'e} to study first order in time PDE, namely the JKO scheme associated with non-linear parabolic equations.

研究动机与目标

• 证明不可压缩 Euler 方程多相形式中平均熵的时间凸性，从而证实 Brenier 的一个猜想。
• 建立一个变分框架，其中流体相在可压缩动力学下演化，但通过全局不可压缩性约束相互耦合。
• 分析 Wasserstein 空间中最优轨迹上熵的正则性与凸性性质。
• 将 JKO 格式的流互换不等式技术推广至流体动力学中出现的二阶时间 PDE。
• 在参数化边界条件下，通过熵与作用量最小化来表征最小作用量解。

提出的方法

• 引入多相 Euler 系统的时间离散化版本，以处理二阶时间导数。
• 应用 Matthes、McCann 与 Savaré 提出的流互换不等式，以控制熵的时间演化。
• 在相空间上对熵与作用量的凸泛函应用 Jensen 不等式，以推导出界。
• 利用概率测度的分解方法，从全局交通计划构造一族相轨迹。
• 依赖于区域的凸性，以确保熵的二阶导数中边界项的非负性。
• 利用速度场的 Hamilton-Jacobi 表述作为势函数的梯度，从而与最优传输理论相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凸域假设下，多相不可压缩 Euler 方程中的平均熵是否关于时间是凸的？
• RQ2 能否将 JKO 格式的流互换不等式适应于由变分流体模型导出的二阶时间 PDE？
• RQ3 即使各相发生分裂或扩散，偏离经典 Dirac 解时，熵的时间凸性是否仍然成立？
• RQ4 不可压缩性约束在多相框架中如何与熵演化相互作用？
• RQ5 在边界约束下，能否通过熵与作用量最小化来参数化最小作用量解？

主要发现

• 在凸域中，平均熵 $ H(t) $ 的二阶导数非负，从而证明了其时间凸性。
• 由于区域的凸性，边界项 $ \nabla p_t \cdot n $ 非负，从而确保了对 $ H''(t) $ 的下界。
• 时间离散化流互换不等式成功控制了熵的演化，使得凸性证明成为可能。
• 构造解的作用量与熵分别满足 $ \mathcal{A}_P(\rho,\mathbf{v}) \leq \mathcal{A}(Q) $ 与 $ H_P(\rho,\mathbf{v})(t) \leq H_Q(t) $。
• 当边界条件以参数形式给出时，总熵最小的解可被参数化。
• 只要区域 $ \Omega $ 是凸的，该结果对任意初始与最终密度 $ \in \mathcal{P}(\Omega) $ 均成立。