[论文解读] Time inhomogeneous Stochastic Differential Equations involving the local time of the unknown process, and associated parabolic operators

Pierre Étoré, Miguel Martínez|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用 24

一句话总结

本文建立了涉及未知过程沿时变曲线的局部时的一维时变随机微分方程（SDE）的存在性、唯一性及马尔可夫性。通过费曼-卡茨表示公式，将这些SDE与具有传输条件的抛物型偏微分方程（PDE）联系起来，证明了解的正则性，并将经典的时间齐次结果推广至具有时变系数和移动界面的时变情形。

ABSTRACT

In this paper we study time-inhomogeneous versions of one-dimensional Stochastic Differential Equations (SDE) involving the Local Time of the unknown process on curves. After proving existence and uniqueness for these SDE under mild assumptions, we explore their link with Parabolic Differential Equations (PDE) with transmission conditions. We study the regularity of solutions of such PDE and ensure the validity of a Feynman-Kac representation formula. These results are then used to characterize the solutions of these SDE as time-inhomogeneous Markov Feller processes.

研究动机与目标

• 将涉及局部时的一维SDE理论从时齐次情形推广至时非齐次情形。
• 在系数和曲线具有时变性的情况下，建立具有局部时沿移动曲线的SDE的存在性与路径唯一性。
• 通过费曼-卡茨表示公式，将这些SDE与具有传输条件的抛物型PDE联系起来。
• 将解表征为时非齐次的马尔可夫费勒过程。
• 证明与之相关的具有传输条件的抛物型PDE解的正则性。

提出的方法

• 建立涉及未知过程沿时变曲线的局部时的时非齐次SDE：$ dX_t = \sigma(t,X_t)dW_t + b(t,X_t)dt + \sum_{i=1}^I \beta_i(t) dL_t^{x_i(t)}(X) $。
• 在系数和曲线满足较弱正则性条件下，利用弱解与路径唯一性，证明强解的存在性。
• 建立费曼-卡茨表示公式，将SDE解与具有传输条件的抛物型PDE解联系起来。
• 分析具有时变系数和在移动界面处具有传输条件的散度型抛物型PDE。
• 利用加权Sobolev空间与截断函数的能量估计，证明PDE解的正则性。
• 应用先验估计与光滑化技术，推导出$ L^2 $-正则性及时间导数的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在系数和曲线满足较弱正则性条件下，是否可以为沿时变曲线的未知过程局部时的时非齐次SDE建立存在性与唯一性？
• RQ2 此类SDE的解与具有传输条件的抛物型PDE之间存在何种关系？
• RQ3 在具有时变系数和移动界面的条件下，相关抛物型PDE解具有何种正则性性质？
• RQ4 在具有局部时贡献的时非齐次设定下，费曼-卡茨表示公式是否成立？
• RQ5 解过程是否可表征为时非齐次的马尔可夫费勒过程？

主要发现

• 在$ \sigma, b, \beta_i(t), x_i(t) $满足较弱正则性条件下，证明了沿时变曲线的时非齐次SDE的存在性与路径唯一性。
• 解过程被表征为时非齐次的马尔可夫费勒过程。
• 建立了费曼-卡茨表示公式，将SDE解与具有传输条件的抛物型PDE解联系起来。
• 证明了相关抛物型PDE的解属于$ L^2(0,T;H^1) $，且时间导数与空间梯度具有$ L^2 $-有界性。
• PDE解在每个移动界面$ x_i(t) $处满足传输条件$ a(x_i+)u_x'(t,x_i+) = a(x_i-)u_x'(t,x_i-) $。
• 通过截断函数与光滑化技术的能量估计，获得了与正则化无关的统一有界性，证明了解在加权Sobolev空间中的正则性。