[论文解读] Time reversal dualities for some random forests

Miraine Dávila Felipe, Amaury Lambert|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文建立了由独立同分布分裂树构成的随机森林的时间反演对偶性，表明超临界分支森林的正向时间种群大小过程，其分布等价于出生率与死亡率互换后的亚临界森林的正向时间过程。该对偶性通过轮廓过程与 Lévy 过程可逆性推导得出，其在疾病传播的流行病学建模中具有应用价值。

ABSTRACT

We consider a random forest $\mathcal{F}^*$, defined as a sequence of i.i.d. birth-death (BD) trees, each started at time 0 from a single ancestor, stopped at the first tree having survived up to a fixed time $T$. We denote by $\left(ξ^*_t,\ 0\leq t\leq T ight)$ the population size process associated to this forest, and we prove that if the BD trees are supercritical, then the time-reversed process $\left(ξ^*_{T-t},\ 0\leq t\leq T ight)$, has the same distribution as $\left(\widetildeξ^*_t,\ 0\leq t\leq T ight)$, the corresponding population size process of an equally defined forest $\widetilde{\mathcal{F}}^*$, but where the underlying BD trees are subcritical, obtained by swapping birth and death rates or equivalently, conditioning on ultimate extinction. We generalize this result to splitting trees (i.e. life durations of individuals are not necessarily exponential), provided that the i.i.d. lifetimes of the ancestors have a specific explicit distribution, different from that of their descendants. The results are based on an identity between the contour of these random forests truncated up to $T$ and the duality property of Lévy processes. This identity allows us to also derive other useful properties such as the distribution of the population size process conditional on the reconstructed tree of individuals alive at $T$, which has potential applications in epidemiology.

研究动机与目标

• 建立分裂树随机森林的时间反演对偶性，将已知的出生-死亡过程结果推广至更一般情形。
• 确定当超临界森林的种群大小过程被时间反转时，其与参数互换后的亚临界森林正向过程相等的条件。
• 通过指定祖先寿命的唯一分布（不同于后代寿命的 i.i.d. 分布），将对偶性推广至非指数寿命情形。
• 将对偶性应用于流行病学模型，将出生解释为传播，死亡解释为康复或移除。
• 提供一种路径构造方法，使对偶森林保留原始树的边结构，但重新解释谱系关系。

提出的方法

• 作者使用跳跃时序轮廓过程（JCCP）编码森林的谱系结构，证明其服从一个在吸收时被反射并吸收的非负跳过程的分布。
• 对原始森林的 JCCP 应用时空反转，利用 Lévy 过程在时间反转下的已知对偶性质。
• 通过证明反转后的轮廓过程与具有亚临界分支机制的对偶森林的 JCCP 同分布，建立对偶性。
• 关键技术步骤是证明局部时间（对某一水平的访问次数）在路径变换下保持不变，从而确保对偶性在种群大小过程中成立。
• 该方法依赖于强马氏性质与指数倾斜，以关联不同分支机制下的测度。
• 通过在祖先寿命上施加特定且显式的分布（不同于后代寿命的 i.i.d. 分布），将构造方法扩展至非指数寿命情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在指数寿命之外的分裂树随机森林中建立时间反演对偶性？
• RQ2 当寿命非指数分布时，对偶性成立所需的祖先寿命条件是什么？
• RQ3 当原始森林为超临界而对偶森林为亚临界时，对偶性在种群大小过程中的表现形式如何？
• RQ4 该对偶性能否扩展至整个森林结构，而不仅限于种群大小过程？
• RQ5 该对偶性对流行病传播建模有何启示？

主要发现

• i.i.d. 分裂树构成的超临界随机森林的时间反演种群大小过程，其分布等价于出生率与死亡率互换后的亚临界森林的正向种群大小过程。
• 对于非指数寿命，仅当祖先寿命服从特定的非指数分布（且不同于后代寿命的 i.i.d. 分布）时，对偶性才成立。
• 对偶性不仅适用于种群大小过程，也适用于整个森林结构，且通过路径构造方法保持原始树边结构。
• 由于反转变换下局部时间保持不变，森林轮廓过程在时间反转后，其分布与对偶森林的轮廓过程相同。
• 对偶性意味着：在灭绝条件下，超临界过程中观察到种群大小 ≥T 的概率，等于亚临界过程中最小水平 ≤−T 的概率。
• 该结果为建模疾病传播提供了新工具，其中时间反演的传播动态对应于另一种亚临界传播过程。