[论文解读] Time-reversible and norm-conserving high-order integrators for the nonlinear time-dependent Schr\"{o}dinger equation: Application to local control theory

Julien Roulet, Jiří Vaníček|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文提出了一类高阶、时间可逆且保持范数的几何积分器，适用于一般非线性时变薛定谔方程，特别适用于局域控制理论。基于隐式中点法的对称组合，这些积分器保持了几何性质，并在波函数误差为10−9时，相比显式分裂算子法实现了高达400,000倍的加速，显著提升了量子控制模拟的精度与效率。

ABSTRACT

The explicit split-operator algorithm has been extensively used for solving not only linear but also nonlinear time-dependent Schr\"{o}dinger equations. When applied to the nonlinear Gross-Pitaevskii equation, the method remains time-reversible, norm-conserving, and retains its second-order accuracy in the time step. However, this algorithm is not suitable for all types of nonlinear Schr\"{o}dinger equations. Indeed, we demonstrate that local control theory, a technique for the quantum control of a molecular state, translates into a nonlinear Schr\"{o}dinger equation with a more general nonlinearity, for which the explicit split-operator algorithm loses time reversibility and efficiency (because it has only first-order accuracy). Similarly, the trapezoidal rule (the Crank-Nicolson method), while time-reversible, does not conserve the norm of the state propagated by a nonlinear Schr\"{o}dinger equation. To overcome these issues, we present high-order geometric integrators suitable for general time-dependent nonlinear Schr\"{o}dinger equations and also applicable to nonseparable Hamiltonians. These integrators, based on the symmetric compositions of the implicit midpoint method, are both norm-conserving and time-reversible. The geometric properties of the integrators are proven analytically and demonstrated numerically on the local control of a two-dimensional model of retinal. For highly accurate calculations, the higher-order integrators are more efficient. For example, for a wavefunction error of $10^{-9}$, using the eighth-order algorithm yields a $48$-fold speedup over the second-order implicit midpoint method and trapezoidal rule, and $400000$-fold speedup over the explicit split-operator algorithm.

研究动机与目标

• 本文针对局域控制理论中出现的一般非线性时变薛定谔方程缺乏高效几何积分器的问题。
• 指出广泛使用的显式分裂算子算法无法保持时间可逆性，且对一般非线性项仅具有时间一阶精度。
• 目标是为具有非可分哈密顿量的非线性薛定谔方程开发高阶积分器，使其同时具备时间可逆性和范数保持性。
• 本研究旨在提供一个稳健的数值框架，用于高精度量子控制模拟，其中几何性质至关重要。

提出的方法

• 作者采用隐式中点法的对称组合，构建适用于非线性时变薛定谔方程的高阶积分器。
• 积分器被设计为在一般非线性项下仍能保持波函数的范数并维持时间可逆性。
• 通过将完整时间演化视为尊重底层几何结构的隐式步骤组合，该方法处理了非可分哈密顿量。
• 在每个积分步骤中使用可调节误差容限的非线性系统求解器，以确保精度的同时保持稳定性。
• 将积分器应用于二维视黄醛模型，以测试其在局域种群和能量控制场景下的性能。
• 数值验证包括收敛性分析、通过正向-反向传播进行的时间可逆性检查，以及范数保持性的监测。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般非线性时变薛定谔方程构造出同时具备时间可逆性和范数保持性的高阶积分器？
• RQ2 当显式分裂算子算法应用于超出Gross-Pitaevskii形式的非线性项（如局域控制理论中的情况）时，其时间可逆性和效率是否依然保持？
• RQ3 在不同数值参数和精度设置下，各类积分器的几何性质（范数保持性、时间可逆性）如何比较？
• RQ4 为实现高精度波函数传播，高阶几何积分器相比二阶和显式方法在计算效率上有多大的提升？
• RQ5 单精度浮点精度和非线性求解器容差在实际中如何影响隐式积分器的时间可逆性？

主要发现

• 八阶积分器在波函数误差为10−9时，相比二阶隐式中点法和梯形法则，实现了48倍的加速。
• 当应用于局域控制理论时，显式分裂算子算法仅表现出时间一阶精度且不具备时间可逆性，尽管其对Gross-Pitaevskii方程为二阶精度。
• 隐式中点法和梯形法则具有时间可逆性，但仅隐式中点法在一般非线性项下保持范数。
• 近似显式TVT分裂算子算法不保持范数，且本质上时间不可逆，无论浮点精度如何。
• 隐式中点法的时间可逆性会因更小的时间步长、非线性求解器中更高的误差阈值以及更低的浮点精度而退化，这是由于累积舍入误差所致。
• 仅隐式中点法和梯形法则保持时间可逆性；仅隐式中点法和显式分裂算子方法在测试场景中保持范数。