[论文解读] Tools for working with multiplier Hopf algebras

Alphons Van Daele|ArXiv.org|Jun 12, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 28

一句话总结

本文提出了一套严格的框架，用于在乘子霍普夫代数的背景下，对非单位元代数上的模进行扩展，采用一种称为“完备模”$\overline{X}$的完备化过程，该过程在代数缺乏单位元时推广了模扩展的概念。主要贡献是通过严格拓扑对这一完备化进行拓扑表征，确保了扩展线性映射的连续性和唯一性，特别是在斯维德勒记号和余作用的语境下。

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a multiplier Hopf algebra. In general, the underlying algebra $A$ need not have an identity and the coproduct $Δ$ does not map $A$ into $A\otimes A$ but rather into its multiplier algebra $M(A\otimes A)$. In this paper, we study {\it some tools} that are frequently used when dealing with such multiplier Hopf algebras and that are typical for working with algebras without identity in this context. The {\it basic ingredient} is a unital left $A$-module $X$. And the basic construction is that of extending the module by looking at linear maps $ρ:A o X$ satisfying $ρ(aa')=aρ(a')$ where $a,a'\in A$. We write the module action as multiplication. Of course, when $x\in X$, and when $ρ(a)=ax$, we get such a linear map. And if $A$ has an identity, all linear maps $ρ$ have this form for $x=ρ(1)$. However, the point is that in the case of a non-unital algebra, the space of such maps is in general strictly bigger than $X$ itself. We get an {\it extended module}, denoted by $\bar X$ (for reasons that will be explained in the paper). We study all sorts of more complicated situations where such extended modules occur and we illustrate all of this with {\it several examples}, from very simple ones to more complex ones where iterated extensions come into play. We refer to cases that appear in the literature. We use this basic idea of extending modules to explain, in a more rigorous way, the so-called {\it covering technique}, which is needed when using {\it Sweedler notations} for coproducts and coactions. Again, we give many examples and refer to the existing literature where this technique is applied.

研究动机与目标

• 解决在乘子霍普夫代数中工作时的技术挑战，特别是当底层代数缺乏单位元时。
• 形式化斯维德勒记号中“覆盖”概念，这对于处理非单位元情形下的余乘积和余作用至关重要。
• 开发一种系统化的方法，将线性映射从模$X$扩展到其完备版本，确保连续性和唯一性。
• 为使用严格拓扑的扩展模构造提供拓扑基础，证明其在代数量子群理论中的合理性。
• 推广并澄清文献中使用的“覆盖技巧”，特别是在双交叉积构造和对偶理论中的应用。

提出的方法

• 将完备模$\overline{X}$定义为满足对所有$a, a' \in A$有$\rho(aa') = a\rho(a')$的线性映射$\rho: A \to X$的集合，从而推广了$X$对$A$的作用。
• 在$\overline{X}$上赋予由半范数$\|y\|_a = \|ay\|$（$a \in A$）定义的严格拓扑，使其成为一个局部凸拓扑空间。
• 证明在严格拓扑下，$X$在$\overline{X}$中稠密，且$\overline{X}$是完备的，从而支持使用“完备化”这一术语。
• 引入“被覆盖变量”的概念：若存在$e \in A$使得对所有$x \in X$有$F(ex) = F(x)$，则线性映射$F: X \to V$被称为被覆盖的。
• 证明被覆盖的映射可唯一地扩展为$\overline{X}$上的严格连续映射，其扩展定义为$F(y) = F(ey)$。
• 将该框架推广至右模和$A$-双模，将严格拓扑定义为使左右作用均连续的最弱拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非单位元代数$A$缺乏单位元时，如何严格地将线性映射从模$X$扩展到更大的模$\overline{X}$？
• RQ2 何种拓扑结构能确保扩展模$\overline{X}$的完备性和连续性，且其与原始模$X$的关系如何？
• RQ3 “被覆盖”变量的概念在乘子霍普夫代数中如何实现斯维德勒记号的一致使用？
• RQ4 在复杂构造（如双交叉积）中，完备模$\overline{X}$在迭代扩展下表现为何种行为？
• RQ5 在对偶和余作用语境下，$\overline{X}$上的严格拓扑与扩展线性泛函的连续性之间存在何种关系？

主要发现

• 完备模$\overline{X}$是$X$在严格拓扑下的完备化，且其完备性确保了扩展过程的良定义性和稳定性。
• 当$A$为非单位元时，空间$\overline{X}$严格包含$X$，表明该扩展捕捉到了原始模作用无法达到的新元素。
• 线性映射$F: X \to V$是严格连续的，当且仅当它是被覆盖的，即存在$e \in A$使得$F = F \circ \lambda_e$，其中$\lambda_e(x) = ex$。
• 扩展映射$F: \overline{X} \to V$由$F(y) = F(ey)$唯一表征，其中$e$为覆盖$F$的元素，从而确保了扩展的一致性和唯一性。
• 对于$A$-双模，严格拓扑是使左右作用均连续的最弱拓扑，且作为双模的$X$的完备化嵌入于其左完备化与右完备化的交集中。
• 该构造具有自反性：对$\overline{X}$重复相同过程不会产生新元素，从而确认了其极大性和稳定性。