[论文解读] Topological entropy for non-uniformly continuous maps

Boris Hasselblatt, Zbigniew Nitecki+1 more|ArXiv.org|Nov 20, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文研究了在完全有界度量空间上非一致连续映射的拓扑熵，比较了Bowen与Friedland的熵定义的三种扩展。证明了基于图紧化的Friedland-Bowen-Dinaburg熵（Friedland-Bowen-Dinaburg entropy）支配了基于紧子集上上确界的Bowen紧化熵（Bowen's compacta entropy），且两者均与Bowen-Dinaburg度量定义的直接扩展一致。关键结果是当一致连续性不成立时，这些不变量会有所不同，且其值取决于同一一致类中度量的选择。

ABSTRACT

The topological entropy of a continuous self-map of a compact metric space can be defined in several distinct ways; when the space is not assumed compact, these definitions can lead to distinct invariants. The original, purely topological invariant defined by Adler et. al. is infinite if the system has at least one orbit with empty limit set. The Bowen-Dinaburg formulation (based on separated sets) is equivalent to the invariant defined by Friedland (based on a compactification of the inverse limit), and dominates another invariant proposed by Bowen (maximizing dispersion rates for orbits emanating from compact subsets). Examples show that these two invariants are both heavily dependent on the uniform structure induced by the metric used to calculate them.

研究动机与目标

• 分析在非紧致、完全有界度量空间上连续自映射的拓扑熵，其中不假设一致连续性。
• 比较并对比三种拓扑熵扩展：Bowen的紧化熵、Friedland的图紧化熵，以及Bowen-Dinaburg定义的直接度量扩展。
• 确定这些熵定义在何种条件下一致或分歧，特别是当映射不一致连续时。
• 通过例子表明，即使在相同的统一等价类中，熵值也可随度量选择而变化。
• 表明原始的Adler-Konheim-McAndrew无度量定义在许多非紧致情形下无法给出有限熵。

提出的方法

• 作者在紧致度量空间的子集 X 上研究连续自映射 f，假设 X 是完全有界的但不一定是闭的。
• 他们将Bowen-Dinaburg基于度量的定义原样扩展到此非紧致、完全有界的情形，通过在环境空间中的 (n,ε)-分离集来定义熵。
• 通过 f 的图的紧化定义Friedland的熵，并证明其与扩展的Bowen-Dinaburg定义一致。
• 通过所有紧子集 K ⊂ X 上的Bowen-Dinaburg熵的上确界来定义Bowen的紧化熵。
• 使用度量扰动——特别是对单位圆盘中 0 或 1 附近的径向分量进行“褶皱”处理——构造熵值发生变化的例子。
• 将理论应用于动力系统，如 R 上的映射 x ↦ 2x 和穿孔圆盘上的平方映射，分析不同嵌入下的熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准的Bowen-Dinaburg基于度量的拓扑熵定义能否有意义地扩展到非紧致、完全有界度量空间？
• RQ2 在缺乏一致连续性时，Friedland的图紧化熵与Bowen的紧化熵如何比较？
• RQ3 拓扑熵的值是否可能依赖于度量的选择，即使度量是统一等价的？
• RQ4 为何原始的Adler-Konheim-McAndrew无度量定义在许多非紧致系统中无法给出有限熵？
• RQ5 当一个映射不一致连续，因而无法连续延拓到空间的完备化时，熵会发生什么变化？

主要发现

• 扩展的Bowen-Dinaburg熵（通过环境空间中的 (n,ε)-分离集定义）与Friedland的图紧化熵一致，且两者均支配Bowen的紧化熵。
• 对于定义在图 Γ ⊂ (0,1)×S¹ 上的映射 G: Γ → Γ，(x,θ) ↦ (x², 2θ mod 1)，Friedland-Bowen-Dinaburg 熵为 log N，而 Bowen 紧化熵为 0。
• 对于映射 f(x,θ) = (x², 2θ mod 1) 在 (0,1)×S¹ 上，当通过 |z| = x 嵌入时，Friedland-Bowen-Dinaburg 熵为 log 2，而 Bowen 紧化熵为 0；但当通过 |z| = 1−x 嵌入时，两者均为 log 2。
• 通过应用命题 8 中的“褶皱”构造，可实现 h_BD = h_Bc = log N（对任意整数 N ≥ 2），或 h_BD = log N 且 h_Bc = 0，具体取决于褶皱的位置。
• Adler-Konheim-McAndrew 的无度量定义在一大类非紧致例子中给出无穷熵，因此不适合作为一般化定义。
• 本文表明，Bowen 紧化熵不满足在紧致情形下成立的基本不变性性质（如 h(f) = h(f⁻¹)），而Friedland的熵则满足。