[论文解读] Topological K-theory and its Chern character for non-commutative spaces

Anthony Blanc|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过代数K-理论的拓扑实现再经Bott逆，为ℂ上的dg范畴引入了一种拓扑K-理论，证明了从代数K-理论到周期循环同调的Chern示性类可下移至该不变量。该研究确立了单位dg范畴的拓扑K-理论同构于BU，并证实了有限维代数的格猜想，从而给出了以投影模堆栈表示的周期循环同调的公式。

ABSTRACT

The purpose of this work is to give a definition of a topological K-theory for dg-categories over C and to prove that the Chern character map from algebraic K-theory to periodic cyclic homology descends naturally to this new invariant. This topological Chern map provides a natural candidate for the existence of a rational structure on the periodic cylic homology of a smooth proper dg-algebra, within the theory of noncommutative Hodge structures. The definition of topological K-theory consists in two steps : taking the topological realization of algebraic K-theory, and inverting the Bott element. The topological realization is the left Kan extension of the functor space of complex points to all simplicial presheaves over complex algebraic varieties. Our first main result states that the topological K-theory of the unit dg-category is the spectrum BU. For this we are led to prove a homotopical generalization of Deligne's cohomological proper descent, using Lurie's proper descent. The fact that the Chern character descends to topological K-theory is established by using Kassel's Kunneth formula for periodic cyclic homology and once again the proper descent result. In the case of a dg-category of perfect complexes on a smooth scheme, we show that we recover the usual topological K-theory. Finally in the case of a finite dimensional associative algebra, we show that the lattice conjecture holds. This gives a formula for the periodic homology groups of a finite dimensional algebra in terms of the stack of projective modules of finite type.

研究动机与目标

• 通过拓扑实现和Bott逆为ℂ上的dg范畴定义一种拓扑K-理论。
• 确立从代数K-理论到周期循环同调的Chern示性类可自然下移至该新的拓扑K-理论。
• 在非交换Hodge理论中为周期循环同调提供有理结构。
• 对光滑概形上的完美复形的dg范畴恢复经典拓扑K-理论。
• 验证有限维结合代数的格猜想。

提出的方法

• 将拓扑实现作为将复代数簇映射到其复点空间的函子的左Kan扩张。
• 在所得谱上对Bott元进行逆，以定义拓扑K-理论。
• 利用Lurie的恰当下降性，将Deligne的上同调恰当下降性推广至同伦范畴。
• 运用Kassel的周期循环同调Künneth公式，分析Chern示性类的下移。
• 利用下降性和实现技术，比较几何情形下拓扑K-理论与经典不变量。
• 采用堆论方法，以投影模的堆栈表达有限维代数的周期循环同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为ℂ上的dg范畴定义一种拓扑K-理论，使其精化代数K-理论并支持到周期循环同调的Chern示性类？
• RQ2 从代数K-理论到周期循环同调的Chern示性类是否自然地因子于该新的拓扑K-理论？
• RQ3 单位dg范畴的拓扑K-理论是否同构于谱BU？
• RQ4 该构造是否对光滑概形上的完美复形的dg范畴恢复经典拓扑K-理论？
• RQ5 有限维结合代数的格猜想是否成立，且周期循环同调能否通过投影模的堆栈表达？

主要发现

• 单位dg范畴的拓扑K-理论同构于谱BU，确认了基础情形。
• 从代数K-理论到周期循环同调的Chern示性类自然下移至新的拓扑K-理论。
• 对于光滑概形上的完美复形的dg范畴，该构造恢复了经典拓扑K-理论。
• 有限维结合代数的格猜想成立，提供了以投影模堆栈表示的周期循环同调的公式。
• 利用Lurie的框架，建立了Deligne的上同调恰当下降性的同伦推广。
• Kassel的周期循环同调Künneth公式在证明Chern示性类下移时起关键作用。