[论文解读] Topological Quantum Field Theory, Nonlocal Operators, and Gapped Phases of Gauge Theories

Sergei Gukov, Anton Kapustin|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2013

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 63

一句话总结

本文提出一种拓扑量子场论（TQFT）框架，用于在4D规范理论中使用非局域算符（特别是表面算符）超越威尔逊-'t Hooft判据，对能隙相进行分类。该框架构建了具有磁荷或任意子凝聚的阿贝尔与非阿贝尔相的TQFT，表明theta角是量子化的，并指出非阿贝尔理论的禁闭相涉及非阿贝尔2-丛，且通过单胞复形上的单极子通量约束，可在晶格形式中实现不同相。

ABSTRACT

We revisit the role of loop and surface operators as order parameters for gapped phases of four-dimensional gauge theories. We show that in some cases surface operators are confined, and that this fact can be used to distinguish phases which are not distinguished by the Wilson-'t Hooft criterion. The long-distance behavior of loop and surface operators which are neither confined nor screened is controlled by a 4d TQFT. We construct these TQFTs for phases which are characterized by the presence of electrically and/or magnetically charged condensates. Interestingly, the TQFT describing a phase with a nonabelian monopole condensate is based on the theory of nonabelian gerbes. We also show that in phases with a dyonic condensate the low-energy theta-angle is quantized.

研究动机与目标

• 在威尔逊-'t Hooft判据无法区分某些禁闭相与希格斯相的情况下，对4D规范理论中的能隙相进行分类。
• 构建长程行为中环算符与表面算符既不禁闭也不屏蔽的TQFT描述，以捕捉拓扑序。
• 为具有电荷、磁荷或任意子凝聚的阿贝尔与非阿贝尔相构造显式的TQFT作用量，包括具有非阿贝尔单极子凝聚的相。
• 表明SU(N)/Z_N规范理论的低能有效理论是一种对单极子凝聚电荷所生成的Z_N子群敏感的TQFT。
• 通过在单极子通量上施加约束，利用Villain型形式化在晶格规范理论中实现SU(N)/Z_N理论的不同相。

提出的方法

• 使用环算符与表面算符作为序参量，通过其长程行为（面积律，即禁闭；周长律，即非禁闭）来区分相。
• 为具有任意单极子凝聚的阿贝尔相构建TQFT，表明由于拓扑约束，theta角是量子化的。
• 应用非阿贝尔2-丛来描述非阿贝尔规范理论的禁闭相，其TQFT作用量涉及2-联络曲率的约束。
• 在晶格实现中，采用SU(N)规范变量与Z_N取值的plaquette变量w_P的Villain型形式化，强制在离散1-形式变换下规范不变性。
• 通过在立方体上施加m_c = 1或m_c^p = 1的规范不变约束，对单极子通量进行约束，对应于SU(N)/Z_N的不同覆盖。
• 使用交叉模t: Z_N → SU(N)来描述Z_N B场与SU(N)规范理论之间的耦合，其中p=1时作用为平凡，而p>1时具有非平凡的3-形式结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 表面算符能否区分在威尔逊-'t Hooft判据下无法区分的4D规范理论的能隙相？
• RQ2 如何构建描述具有任意子凝聚相的TQFT？这些TQFT对theta角施加了何种约束？
• RQ3 非阿贝尔2-丛在描述非阿贝尔规范理论的禁闭相中起什么作用？其与阿贝尔理论希格斯相有何关系？
• RQ4 晶格规范理论如何通过单极子通量的约束来实现SU(N)/Z_N规范理论的不同相？
• RQ5 SU(N)/Z_N杨-米尔斯理论的低能TQFT描述能否完全由单极子凝聚电荷所生成的Z_N子群来分类？

主要发现

• 在具有任意子凝聚的相中，theta角是量子化的，这是TQFT描述的拓扑性质的直接结果。
• 对于SU(N)/Z_N规范理论，低能TQFT依赖于单极子凝聚电荷所生成的Z_N子群，不同相对应于N的因数。
• 非阿贝尔规范理论的禁闭相由非阿贝尔2-丛TQFT描述，其等价于阿贝尔未破缺规范群的希格斯TQFT。
• 通过在单极子通量上施加约束，SU(N)/Z_N晶格规范理论可实现不同相：m_c = 1（通用覆盖）、m_c^p = 1（p因数覆盖）或无约束（平凡覆盖）。
• 所有单极子凝聚的相对应的TQFT为平凡覆盖SU(N)/Z_N → SU(N)/Z_N，而仅平凡通量单极子凝聚的相对应于通用覆盖SU(N) → SU(N)/Z_N。
• 通过plaquette变量w_P耦合的Z_N取值B场与SU(N)晶格规范理论，可在低能下实现SU(N)/Z_N规范理论，其TQFT作用量在连续极限下类似于∫|Tr F - t(B)|²。