[论文解读] Topological recursive relations in $H^{2g}(M_{g,n})$

Eleny-Nicoleta Ionel|ArXiv.org|Aug 13, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 23

一句话总结

本文证明了当 $ g \geq 2 $ 时，任何在 $ H^{2g}({\cal M}_{g,n}) $ 中度数至少为 $ g $ 的下位类或典型类的单项式均消失，推广了 Looijenga 的结果，并证实了 Getzler 猜想的一个版本。证明利用了 $ \mathbb{P}^1 $ 相对于两点的相对 Gromov-Witten 不变量、退化公式以及两点分支循环的结构，表明此类类是至多余维数为 $ g $ 的循环的线性组合，而当余维数等于 $ g $ 时，这些循环在开模空间上消失。

ABSTRACT

We show that any degree at least $g$ polynomial in descendant or tautological classes vanishes on $M_{g,n}$ when $g\ge 2$. This generalizes a result of Looijenga and proves a version of Getzler's conjecture. The method we use is the study of the relative Gromov-Witten invariants of $P^1$ relative 2 points combined with the degeneration formulas of [IP1]. At the end of the paper, we also included a quick proof of a very recent conjecture made by Vakil.

研究动机与目标

• 将 Looijenga 在 Chow 群中对典型类的消失结果推广至 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 中的上同调，适用于 $ g \geq 2 $。
• 证明 Getzler 关于下位类与典型类的拓扑递归关系（TRR）的上同调版本。
• 建立任意 $ \psi_i $ 与 $ \kappa_a $ 类中度数为 $ m $ 的单项式的 Poincaré 对偶可表示为广义两点分支循环的线性组合。
• 证明余维数恰好为 $ g $ 的此类循环在 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 上消失，从而得出主要消失定理。

提出的方法

• 利用 $ \mathbb{P}^1 $ 相对于两点的相对 Gromov-Witten 理论，构造具有固定分支的稳定相对映射模空间 $ \overline{{\cal Y}}_{d,g,n} $。
• 应用退化公式（来自 [IP1]）将定义在主模空间 $ \overline{{\cal M}}_{g,n} $ 上的上同调类与目标空间 $ \overline{{\cal M}}_{0,k} $ 上的前推联系起来。
• 依赖于 Poincaré 对偶性以及 $ \overline{{\cal Y}}_{d,g,n} $ 上基本类的存在性，以在 $ \overline{{\cal M}}_{g,n} $ 上定义循环类。
• 利用稳定化映射 $ st: \overline{{\cal Y}}_{d,g,n} \to \overline{{\cal M}}_{g,n} $ 与遗忘映射 $ q $，从 $ \overline{{\cal M}}_{0,k} $ 拉回已知关系。
• 通过归纳法与边界分层分析，证明余维数为 $ g $ 的两点分支循环在 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 上消失，从而证明主要消失结果。
• 表明任意 $ \psi $ 与 $ \kappa $ 类中度数为 $ m $ 的单项式的 Poincaré 对偶属于由两点分支循环生成的子环，而这些循环本身可通过低维分层的附着映射表达。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ g \geq 2 $，下位类或典型类中度数至少为 $ g $ 的任意单项式是否在 $ H^{2g}(\mathcal{M}_{g,n}, \mathbb{Q}) $ 中消失？
• RQ2 相对 Gromov-Witten 不变量的退化公式是否可用于证明 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 中的上同调消失结果？
• RQ3 由两点分支循环生成的 $ H^*(\mathcal{M}_{g,n}, \mathbb{Q}) $ 的子环是否足以表达所有高次典型类？
• RQ4 余维数恰好为 $ g $ 的广义两点分支循环是否在开模空间 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 上消失？
• RQ5 任意 $ \psi $ 与 $ \kappa $ 类中度数为 $ m $ 的单项式的 Poincaré 对偶是否可表示为至少含有 $ m+1-g $ 个 genus 0 分量的分层中循环的线性组合？

主要发现

• 当 $ g \geq 2 $ 时，任何总度数至少为 $ g $ 的下位类或典型类的乘积在 $ H^{2g}(\mathcal{M}_{g,n}, \mathbb{Q}) $ 中消失，证实了 Getzler 猜想的上同调版本。
• 任意 $ \psi_i $ 与 $ \kappa_a $ 类中度数为 $ m $ 的单项式的 Poincaré 对偶是余维数为 $ m $ 的广义两点分支循环的线性组合。
• 余维数为 $ g $ 的广义两点分支循环在 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 上消失，这蕴含了主要消失定理。
• 任意 $ \psi $ 与 $ \kappa $ 类中度数为 $ m $ 的单项式的 Poincaré 对偶属于由两点分支循环及其通过边界附着映射的拉回生成的子环。
• 任何此类循环的附着映射定义域中的 genus 0 分量数量至少为 $ m+1-g $，这界定了支撑该类的分层的复杂度。
• 该证明确立了所有此类关系本质上为代数关系，若退化公式的代数几何证明成立，则消失性可推广至 Chow 环。