[论文解读] Topological regularity of spaces with an upper curvature bound

Alexander Lytchak, Koichi Nagano|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 10

一句话总结

本文建立了具有上截面曲率上界的度量空间的拓扑正则性准则：此类空间是拓扑流形当且仅当其所有方向空间同伦等价于非收缩空间。关键结果以方向空间的同伦型纯无穷小刻画了拓扑流形，解决了关于同调流形和黎曼流形极限的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We prove that a locally compact space with an upper curvature bound is a topological manifold if and only if all of its spaces of directions are homotopy equivalent and not contractible. We discuss applications to homology manifolds, limits of Riemannian manifolds and deduce a sphere theorem.

研究动机与目标

• 为具有上曲率界的局部紧致、测地完备度量空间类中的拓扑流形提供一种纯无穷小、纯拓扑的刻画。
• 解决一个长期悬而未决的问题：具有上曲率界的同调流形是否在除去有限集外为局部拓扑流形。
• 建立具有曲率和注入半径界约束的黎曼流形序列的拓扑稳定性定理，表明极限空间是具有球面型方向空间的拓扑流形。
• 证明非单连通同调球的双重悬垂不能作为 CAT(κ) 黎曼流形序列的极限出现，从而证实一个猜想。
• 将具有上曲率界的非流形空间刻画为必然包含等距嵌入的紧致度量树，其分支角 ≥π。

提出的方法

• 将撑杆映射用作局部 Hurewicz 纤维丛，利用其在具有上曲率界的度量空间中的局部可缩性与同伦性质。
• 应用广义非正曲率（GCBA）空间理论，特别是方向空间与切锥的结构。
• 通过归纳法在维数上进行论证，假设所有方向空间同伦等价于一个固定的非收缩空间，从而推导出拓扑流形结构。
• 使用 Mayer–Vietoris 与 van Kampen 定理，在上同调条件下推导出单连通性及同伦等价于球面的性质。
• 通过 Hausdorff 测度的体积比较推导出当总测度低于阈值时的拓扑球面结构。
• 利用双重悬垂定理及几何拓扑学结果，排除某些奇异空间作为黎曼流形极限的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种纯无穷小条件下，具有上曲率界的局部紧致空间是拓扑流形？
• RQ2 具有上曲率界的同调流形是否在除去有限集外为局部拓扑流形？
• RQ3 具有曲率 ≤κ 且注入半径 ≥r 的黎曼流形序列的极限是否必为拓扑流形？
• RQ4 非单连通同调球的双重悬垂是否可实现为 CAT(κ) 黎曼流形序列的极限？
• RQ5 具有上曲率界的非流形空间存在何种拓扑障碍？

主要发现

• 局部紧致且具有上曲率界的度量空间是拓扑流形，当且仅当其所有方向空间同伦等价于一个固定的非收缩空间。
• 每个具有上曲率界的同调流形在除去一个局部有限集外均为局部拓扑流形，证实了 F. Quinn 的一个猜想。
• 具有曲率 ≤κ 且注入半径 ≥r 的完备 n 维黎曼流形序列的极限是拓扑流形，且所有方向空间同胚于 S^{n-1}。
• 当 n ≤ 4 时，具有上曲率界的拓扑 n-流形的所有方向空间同胚于 S^{n-1}，解决了 V. Berestovskii 的一个问题。
• 非单连通同调球的双重悬垂不是 CAT(κ) 黎曼流形序列的极限，证实了 Berestovskii 的一个猜想。
• 具有上曲率界的非流形 GCBA 空间必须包含一个等距嵌入的紧致度量树，其非单个区间，且分支角 ≥π。