[论文解读] Topological Triviality of Families of Singular Surfaces

R. Callejas-Bedregal, Kevin Houston+1 more|ArXiv.org|Nov 22, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 16

一句话总结

该论文证明了，对于单参数族的 $\sigma$-有限决定性映射芽 $f_t: (\mathbb{C}^2,0) \to (\mathbb{C}^3,0)$，拓扑平凡性等价于双点轨迹 $D^2(f_t)$ 的 Milnor 数 $\mu(D^2(f_t))$ 的常数性。关键结果表明，$\mu(D^2(f_t))$ 的常数性蕴含拓扑平凡性，且该条件进一步等价于 Whitney 等周性与双Lipschitz平凡性，将 Lê-Ramanujam 型定理推广至 $\mathbb{C}^3$ 中的奇异曲面。证明利用受控向量场与 McShane 的延拓定理，通过双点轨迹的等周性性质构造 Lipschitz 平凡化。

ABSTRACT

We study the topological triviality of families of singular surfaces in ${\mathbb C}^3$ parametrized by $\mathcal A$-finitely determined map germs. We prove that the constancy of the Milnor number of the double point locus characterizes the topological triviality of the family.

研究动机与目标

• 确定不变量 $T(f_t)$、$C(f_t)$ 与 $\mu(D^2(f_t))$ 的常数性是否蕴含单参数族 $\mathcal{A}$-有限决定性映射芽中的拓扑平凡性。
• 通过证明 $\mu(D^2(f_t))$ 的常数性蕴含拓扑平凡性，建立 $\mathbb{C}^3$ 中奇异曲面的 Lê-Ramanujam 型定理。
• 证明此类族的拓扑平凡性、Whitney 等周性与双Lipschitz 平凡性之间的等价性。
• 通过双点轨迹 $D^2(F)$ 将平面曲线的等周性理论推广至奇异曲面。

提出的方法

• 证明 $\mu(D^2(f_t))$ 的常数性蕴含 $F$ 为优良的，从而为 Thom 分层映射，使可通过受控向量场实现平凡化。
• 利用 T. Gaffney 的优良展开理论，通过源空间与目标空间中的稳定类型对 $F$ 进行分层。
• 通过积分与分层结构相切的受控向量场，实现拓扑平凡化。
• 将向量场从双点轨迹 $D^2(F)$（其为一族约化平面曲线）上提升至全空间，利用 $S_2$-作用下的平均化方法。
• 应用 McShane 延拓定理，将 Lipschitz 向量场从 $D^2(F)$ 延拓至 $\mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}$，以确保双Lipschitz 平凡化。
• 利用约化平面曲线的拓扑、Whitney 与双Lipschitz 平凡性等价性，将这些性质传递至曲面族。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于单参数族的 $\mathcal{A}$-有限决定性映射芽 $f_t: (\mathbb{C}^2,0) \to (\mathbb{C}^3,0)$，$\mu(D^2(f_t))$ 的常数性是否蕴含拓扑平凡性？
• RQ2 此类族的拓扑平凡性是否等价于 Whitney 等周性与双Lipschitz 平凡性？
• RQ3 能否利用平面曲线的等周性理论推导出 $\mathbb{C}^3$ 中奇异曲面的等周性性质？
• RQ4 双点轨迹 $D^2(F)$ 在多大程度上控制展开 $F$ 的等周性？

主要发现

• 在 $0$ 的邻域内，若 $\mu(D^2(f_t))$ 为常数，则展开 $F$ 是拓扑平凡的。
• 对于 $\mathbb{C}^3$ 中的 $\mathcal{A}$-有限决定性映射芽，$F$ 的拓扑平凡性等价于 Whitney 等周性与双Lipschitz 平凡性。
• 双点轨迹 $D^2(F)$ 作为一族约化平面曲线，继承了平面曲线的完整等周性理论，包括拓扑、Whitney 与双Lipschitz 平凡性的等价性。
• 平凡化向量场的构造依赖于从双点轨迹上提升并平均化向量场，再通过 McShane 定理延拓至全空间，以确保 Lipschitz 正则性。
• 证明表明，$\mu(D^2(f_t))$ 的常数性蕴含 $F$ 为优良的，因此可实现受控向量场的平凡化。
• 作为推论，原点处的重数 $m_0(f_t)$ 在拓扑平凡性下保持不变。