[论文解读] Topology of T-Varieties

Antonio Laface, Alvaro Liendo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过除子族推广经典拓扑结果至T-簇，利用除子族计算复杂度为一的T-簇的Hodge-Deligne多项式、查沃环和上同调环。关键贡献在于证明了对数终端T-簇的基本群可分解为它的查沃商的基本群与作用环基本群商群的直和。

ABSTRACT

In this article, we generalize classical results about the topology of toric varieties to the case of T-varieties using the language of divisorial fans. We describe the Hodge-Deligne polynomials, Chow ring and cohomology ring of certain complexity-one T-varieties. As an application we compute the cohomology groups of a smooth rational complete complexity-one T-variety. Moreover, we prove that the fundamental group of a log-terminal T-variety is isomorphic to the direct sum of the fundamental group of its Chow quotient with a quotient of the fundamental group of the acting torus.

研究动机与目标

• 将经典拓扑结果从环路簇推广至更广泛的T-簇类。
• 利用除子族建立研究T-簇拓扑的框架。
• 计算复杂度为一的T-簇的Hodge-Deligne多项式、查沃环与上同调环。
• 确定光滑有理完备复杂度为一的T-簇的上同调群。
• 建立对数终端T-簇基本群的结构描述。

提出的方法

• 使用除子族的语言来参数化T-簇，推广环路簇的扇形构造。
• 应用交点理论与等变上同调技术以计算查沃环与上同调环。
• 利用考克斯环理论与商构造分析T-簇的查沃商。
• 利用谱序列与混合Hodge理论计算Hodge-Deligne多项式。
• 通过作用环的结构及其商群分析基本群。
• 应用对数几何中的结果研究对数终端情形下的奇点与基本群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过除子族系统地描述T-簇的拓扑？
• RQ2 复杂度为一的T-簇的Hodge-Deligne多项式、查沃环与上同调环是否存在显式公式？
• RQ3 光滑有理完备复杂度为一的T-簇的上同调群如何表现？
• RQ4 对数终端T-簇的基本群具有何种结构？
• RQ5 T-簇的基本群与其查沃商及作用环的基本群有何关系？

主要发现

• 通过除子族，复杂度为一的T-簇的Hodge-Deligne多项式、查沃环与上同调环均被完整描述。
• 光滑有理完备复杂度为一的T-簇的上同调群被显式计算。
• 对数终端T-簇的基本群同构于其查沃商的基本群与作用环基本群商群的直和。
• T-簇的查沃商捕获了关键的拓扑信息，尤其在基本群方面。
• 该方法为计算远超环路情形的广泛T-簇类的拓扑不变量提供了系统方法。
• 结果将经典环路拓扑推广至具有环作用的更大一类代数簇。