[论文解读] Toric degenerations and Gromov width of smooth projective varieties

Kiumars Kaveh|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

该论文证明了任意光滑复射影簇 $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ 的维数为 $n$ 时，其上存在一个开子集 $U$，该子集在辛结构下同构于 $(\mathbb{C}^*)^n$，且配备整数环的环面辛形式，从而通过证明 $X$ 的 Gromov 宽度至少为 1，证实了 Biran 的猜想。此外，论文进一步表明，对任意 $\epsilon > 0$，可选取此类子集 $U$ 使得 $\text{vol}(X \setminus U) < \epsilon$，并利用有理环面形式实现此结果。

ABSTRACT

Let $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ be an $n$-dimensional smooth complex projective variety equipped with a Kahler structure given by a Fubini-Study Kahler form on $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$. We show that $X$ has an open subset $U$ (in the usual classical topology) which is symplectomorphic to the torus $(\mathbb{C}^*)^n$ equipped with an integral toric Kahler form induced by a monomial embedding in $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$. From this we conclude that the Gromov width of $X$ is at least one, proving Biran's conjecture for smooth projective varieties. Moreover, we show that given $\epsilon > 0$ there is an open subset $U$ in $X$ such that $vol(X - U) < \epsilon$ and $U$ is symplectomorphic to $(\mathbb{C}^*)^n$ equipped with a rational toric Kahler form.

研究动机与目标

• 证明 Biran 关于光滑射影簇的 Gromov 宽度的猜想。
• 建立 $X$ 中存在辛同构于环面簇的开子集。
• 证明此类子集的补集体积可被任意缩小。
• 展示这些子集上的辛结构可由有理环面形式实现。

提出的方法

• 利用 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ 上的 Fubini-Study 辛形式在 $X$ 上诱导出一个 Kähler 结构。
• 识别一个开子集 $U \subset X$，使其在辛结构下同构于 $(\mathbb{C}^*)^n$，且配备整数环的环面 Kähler 形式。
• 通过将 $X$ 单项式嵌入 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ 构造辛同构。
• 利用经典拓扑确保开集 $U$ 稠密且辛结构良好。
• 应用体积估计，证明对任意 $\epsilon > 0$，有 $\text{vol}(X \setminus U) < \epsilon$。
• 利用有理环面 Kähler 形式，将辛结构的构造从整数情形推广至更一般情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个光滑射影簇 $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ 是否都存在一个稠密开子集，其在辛结构下同构于 $(\mathbb{C}^*)^n$，且配备整数环的环面 Kähler 形式？
• RQ2 此类簇的 Gromov 宽度是否可被下界为 1？
• RQ3 是否可使此类辛子集补集的体积任意小？
• RQ4 此类开子集上的辛结构是否可由有理环面 Kähler 形式实现？

主要发现

• 任意光滑射影簇 $X \subset \mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ 的 Gromov 宽度至少为 1，从而证实了 Biran 的猜想。
• 存在一个开子集 $U \subset X$，使得 $U$ 在辛结构下同构于 $(\mathbb{C}^*)^n$，且配备整数环的环面 Kähler 形式。
• 对任意 $\epsilon > 0$，存在一个开子集 $U \subset X$，使得 $\text{vol}(X \setminus U) < \epsilon$，且 $U$ 在辛结构下同构于 $(\mathbb{C}^*)^n$，配备有理环面 Kähler 形式。
• 子集 $U$ 上的辛结构由其在 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{r-1}$ 中的单项式嵌入诱导，从而在稠密的环面开集上诱导出环面形式。