[论文解读] Toric Fano varieties and birational morphisms

Cinzia Casagrande|ArXiv.org|Dec 1, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文利用原始集合和原始关系，建立了光滑 торическое ファノ多様体的结构定理，证明了 торическое ファノ多様体与其不变除子之间的Picard数之差至多为3。在4维情况下，对等变双有理态射进行了分类，表明当源为ファノ时，任意此类态射均为光滑爆破的复合，并给出了Picard数的界，证明了5维情况下最大Picard数为9。

ABSTRACT

In this paper we study smooth toric Fano varieties using primitive relations and toric Mori theory. We show that for any irreducible invariant divisor D in a toric Fano variety X, we have $0\leqρ_X-ρ_D\leq 3$, for the difference of the Picard numbers of X and D. Moreover, if $ρ_X-ρ_D>0$ (with some additional hypotheses if $ρ_X-ρ_D=1$), we give an explicit birational description of X. Using this result, we show that when dim X=5, we have $ρ_X\leq 9$. In the second part of the paper, we study equivariant birational morphisms f whose source is Fano. We give some general results, and in dimension 4 we show that f is always a composite of smooth equivariant blow-ups. Finally, we study under which hypotheses a non-projective toric variety can become Fano after a smooth equivariant blow-up.

研究动机与目标

• 透過其扇形和原始集合的组合学，理解光滑 тор的な ファノ多様体的结构。
• 確定 торические ファノ多様体与其不变除子之间的Picard数差的界限。
• 当源为ファノ时，对4次元 тор的多様体之间的等变双有理的写像进行分类。
• 调查非投影的 тор的多様体在经过光滑等变爆破后是否可能成为ファノ多様体。
• 确立 тор的ファノ5多様体的最大Picard数。

提出的方法

• 使用Batyrev引入的原始集合和原始关系的语言，分析 тор的ファノ多様体的扇形结构。
• 应用扇形细分的组合条件，研究等变双有理的写像。
• 使用星形细分的概念，分析4次元扇形中最大单体的细化。
• 利用4次元多様体的扇形中4次元单体可能的细分分类，证明因数分解定理。
• 应用 торのモーリー理論和1-サイクルの数値同値性的结果，推导Picard数的界限。
• 分析1次和2次原始関係的性質，分类细分扇形中新生成元的可能構成。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑 тор的ファノ5多様体的最大Picard数是多少？
• RQ2 非投影的 toric 多様体在经过光滑等変爆破后何时能成为ファノ多様体？
• RQ3 是否每个源为ファノ的4次元 toric 多様体之间的等变双有理的写像均可分解为光滑等変爆破的序列？
• RQ4 toric ファノ多様体与其不变除子之间的Picard数差如何限制多様体的几何结构？
• RQ5 在爆破后，toric ファノ4多様体的扇形中原始集合和关系的可能構成是什么？

主要发现

• 光滑 toric ファノ5多様体的最大Picard数为9，扩展了低维情况下的已知界限。
• 对于光滑 toric ファノ多様体 $X$ 中的任意不可约不变除子 $D \subset X$，差 $\rho_X - \rho_D$ 至多为3。
• 若 $\rho_X - \rho_D = 3$，则 $X$ 是低维 toric ファノ多様体上的 toric $S_3$-バンドル。
• 当 $1 \leq \rho_X - \rho_D \leq 2$ 时，在弱假设下提供了 $X$ 的显式双有理描述。
• 每个源为ファノ的4次元 toric 多様体之间的等变双有理的写像均为光滑等変爆破的复合，确认了因数分解結果。
• 非投影的 toric 多様体 $Y$ 仅在爆破中心的维数至少为3且非射影空间时，才可能在光滑等变爆破后成为ファノ多様体，首个可能情况出现在6维。