[论文解读] Toroidal embeddings and polyhedral divisors

Robert Vollmert|ArXiv.org|Jul 6, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文建立了具有有效 $(n-1)$-环作用的 $T$-概形 $X$ 的环面扇与 Altmann 和 Hausen 框架下描述 $X$ 的多面体除子之间精确的组合对应关系。证明了环面扇是通过沿公共面 $(0,\sigma)$ 粘合除子的多面体系数的齐次化构造而成，从而统一了仿射概形上环作用的两种主要组合描述。

ABSTRACT

Given an effective action of an (n-1)-dimensional torus on an n-dimensional normal affine variety, Mumford constructs a toroidal embedding, while Altmann and Hausen give a description in terms of a polyhedral divisor on a curve. We compare the fan of the toroidal embedding with this polyhedral divisor.

研究动机与目标

• 建立 Mumford 的环面嵌入扇与 Altmann 和 Hausen 的 $T$-概形多面体除子描述之间的精确组合桥梁。
• 解决正规化图的有理商映射的扇结构与曲线上多面体除子系数之间的关系。
• 证明 $T$-概形的环面扇完全由除子在开子集 $U$ 的补集上的多面体系数的齐次化决定。
• 统一描述具有 $(n-1)$-维环作用的正规仿射 $T$-概形的两种不同组合框架——环面嵌入与多面体除子。

提出的方法

• 通过正规化有理商映射 $p: X \dashrightarrow C$ 的图构造环面嵌入 $(U \times T, X^{\prime\prime})$，其中 $C$ 是一个完备非奇异曲线。
• 将环面扇 $\Delta(X,U)$ 定义为 $\mathbb{Z} \times N$ 中的锥 $\delta_P$ 的并集，每个 $P \in C \setminus U$ 对应一个锥，沿公共面 $(0,\sigma)$ 粘合。
• 利用 Altmann 和 Hausen 在曲线 $Y \subset C$ 上的多面体除子 $\mathcal{D} = \sum_P \Delta_P \otimes P$ 描述 $T$-概形 $\widetilde{X}$，并证明其与 $X^{\prime\prime}$ 同构。
• 将每个多面体 $\Delta_P \subset N_{\mathbb{Q}}$ 与尾锥 $\sigma$ 齐次化，形成 $\mathbb{Z} \times N_{\mathbb{Q}}$ 中的锥 $\delta_P = \operatorname{pos}\{(0,\sigma), (1,\Delta_P)\}$。
• 证明 $\pi^{-1}(U^\prime)$ 的坐标环中单项式的半群对应于满足 $k \geq -\min\langle u, \Delta_P \rangle$ 的对 $(k,u)$，从而证明 $\delta_P$ 是 $\Delta_P$ 的齐次化。
• 通过双有理、正规且仿射的映射建立同构 $\widetilde{X} \cong X^{\prime\prime}$，从而可直接比较两种组合结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mumford 构造中产生的环面扇 $\Delta(X,U)$ 与 Altmann 和 Hausen 框架下的多面体除子 $\mathcal{D}$ 之间有何关系？
• RQ2 环面扇中的锥 $\delta_P$ 与除子的多面体系数 $\Delta_P$ 之间的精确组合关系是什么？
• RQ3 能否仅从除子在 $Y \setminus U$ 上的齐次化多面体系数重构环面扇？
• RQ4 有理商映射图的正规化 $X^{\prime\prime}$ 是否与由多面体除子定义的 $T$-概形 $\widetilde{X}$ 重合？
• RQ5 环面嵌入的扇结构是否等价于沿公共面 $(0,\sigma)$ 粘合齐次化多面体系数？

主要发现

• 环面扇 $\Delta(X,U)$ 恰好是通过沿公共面 $(0,\sigma)$ 粘合 $P \in Y \setminus U$ 的多面体系数 $\Delta_P$ 的齐次化构造而成，从而证明了定理 1。
• $T$-概形 $\widetilde{X}$ 通过多面体除子构造，与 $X^{\prime\prime}$（有理商映射图的正规化）之间存在自然同构。
• $\pi^{-1}(U^\prime)$ 的坐标环中单项式的半群对应于 $\mathbb{Z} \times M$ 中的对 $(k,u)$ 且满足 $k \geq -\min\langle u, \Delta_P \rangle$，这刻画了齐次化锥 $\delta_P$。
• 对偶锥 $\delta_P^\vee$ 由满足 $u \in \sigma^\vee$ 且 $r \geq -\min\langle u, \Delta_P \rangle$ 的对 $(r,u) \in \mathbb{Q} \times M_{\mathbb{Q}}$ 构成，确认了齐次化构造。
• $C \setminus Y$ 中的点不参与环面扇 $\Delta(X,U)$ 的构造，因为仅 $Y \setminus U$ 上的系数影响扇的结构。
• 在 $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ 嵌入 $\mathbb{A}^4$ 的例子中，结果得到验证：线段 $\operatorname{conv}\{0,e_i\}$ 的齐次化分别产生由 $(1,0)$ 和 $(1,e_i)$ 生成的锥 $\delta_0$ 和 $\delta_1$。