[论文解读] Torsion points on curves and common divisors of a^k-1 and b^k-1

Nir Ailon, Zeév Rudnick|ArXiv.org|Feb 12, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文研究整数与多项式情形下 $a^k - 1$ 与 $b^k - 1$ 的最大公因数（GCD），利用关于曲线扭点的 Lang 定理，在多项式情形下证明了强有限性结果。研究进一步推广至矩阵情形，表明在特征值乘法独立的条件下，$A^k - I$ 的各项 GCD 被某个固定多项式有界，且在满足本原性条件时，该 GCD 无限多次为 1。

ABSTRACT

We study the behavior of the greatest common divisor of a^k-1 and b^k-1, where a,b are fixed integers or polynomials, and k varies. In the integer case, we conjecture that when a and b are multiplicatively independent and in addition a-1 and b-1 are coprime, then a^k-1 and b^k-1 are coprime infinitely often. In the polynomial case, we prove a strong version of this conjecture. To do this we use a result of Lang's on the finiteness of torsion points on algebraic curves. We also give a matrix analogue of these results, where for a unimodular matrix A, we look at the greatest common divisor of the elements of the matrix A^k-I.

研究动机与目标

• 理解固定整数 $a, b$ 与变数 $k$ 下 $\gcd(a^k - 1, b^k - 1)$ 的行为，特别是当 GCD 较小时的情形。
• 研究当 $a$ 与 $b$ 为乘法独立整数且 $\gcd(a-1, b-1) = 1$ 时的情形，并猜想 $\gcd(a^k - 1, b^k - 1) = 1$ 无限多次成立。
• 在函数域情形下证明该猜想的强版本，其中 $a$ 与 $b$ 被非常值多项式取代。
• 将结果推广至矩阵情形，分析整数或多项式矩阵 $A$ 的 $\gcd(A^k - I)$，并猜想在特征值乘法独立条件下，本原性无限多次成立。
• 通过代数数论，特别是分圆域中的乘法映射，将框架推广至矩阵类比。

提出的方法

• 利用 Lang 定理（关于 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$ 中不可约代数曲线的扭点有限性）来界定特征值比值中单位根的共同出现。
• 将多项式情形下 $\gcd(f^k - 1, g^k - 1)$ 的有界性问题，转化为由特征值参数化的曲线与单位根集合的交点问题。
• 应用黎曼曲面与亚纯函数理论，分析矩阵 $A$ 的 $A^k - I$ 各项的赋值，特别关注极点与零点。
• 利用若尔当代数型与共轭变换，将矩阵 $A$ 变换为可通过特征值行为分析 GCD 结构的形式。
• 通过分析变换矩阵与特征值函数的有限极点集，证明仅有有限多个线性形式 $t - s$ 可整除 $\gcd(A^k - I)$。
• 通过黎曼曲面上亚纯函数的次数界，建立每个点 $t_0$ 处 $v_{t_0}(\gcd(A^k - I))$ 的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在乘法独立整数 $a, b$ 且 $\gcd(a-1, b-1) = 1$ 的条件下，$\gcd(a^k - 1, b^k - 1) = 1$ 无限多次成立的条件是什么？
• RQ2 对于非常值多项式 $f, g$，$\gcd(f^k - 1, g^k - 1)$ 是否可被与 $k$ 无关的常数多项式有界？
• RQ3 矩阵 $A$ 的特征值满足何种条件，可保证 $\gcd(A^k - I) = 1$ 对所有但有限多个 $k$ 成立？
• RQ4 是否可借助代数几何，将标量函数的 GCD 有限性结果推广至矩阵值函数？
• RQ5 当矩阵 $A$ 的特征值乘法独立时，$A^k$ 的本原性是否无限多次成立？

主要发现

• 对于乘法独立的非常值多项式 $f, g$，有 $\gcd(f^k - 1, g^k - 1)$ 整除某个固定多项式 $h$ 对所有 $k$ 成立，从而证明了强一致有界性。
• 若额外满足 $\gcd(f-1, g-1) = 1$，则 $\gcd(f^k - 1, g^k - 1) = 1$ 对所有 $k$ 成立，除了有限个真等差数列的并集。
• 对于复数域上 $\mathbb{C}[t]$ 中的非奇异矩阵 $A$，若其特征值乘法独立，或在 $\overline{\mathbb{C}(t)}$ 上不可对角化，则 $\gcd(A^k - I)$ 整除某个固定多项式 $h$ 对所有 $k$ 成立。
• 若 $A$ 为本原矩阵（即 $\gcd(A - I) = 1$），则 $A^k$ 对所有但有限个真等差数列外的 $k$ 均为本原矩阵。
• 对于 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ 中的非实单位 $u$，矩阵 $A(u) \in SL_{p-1}(\mathbb{Z})$ 满足对所有 $k \not\equiv 0 \pmod{p}$ 有 $\gcd(A(u)^k - I) = 1$，从而在该情形下证明了猜想 B。
• 由于黎曼曲面上亚纯函数的次数有限，$\gcd(A^k - I)$ 在任意点 $t_0$ 处的零点重数在所有 $k$ 中均匀有界。