[论文解读] Total [1,2]-domination in graphs

Xuezheng Lv, Baoyindureng Wu|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文引入并分析了图中的全 [1,2]-支配，定义全 [1,2]-集为每个顶点在该集合中恰好有 1 到 2 个邻居的子集。本文根据图的阶数和最小度，建立了全 [1,2]-支配数 γt[1,2](G) 的紧上界，并刻画了达到这些上界的极值图。主要贡献在于完全刻画了不存在全 [1,2]-集的图，以及 γt[1,2](G) 同时等于 γ[1,2](G) 和 γ(G) 的条件。

ABSTRACT

A subset $S\subseteq V$ in a graph $G=(V,E)$ is a total $[1,2]$-set if, for every vertex $v\in V$, $1\leq |N(v)\cap S|\leq 2$. The minimum cardinality of a total $[1,2]$-set of $G$ is called the total $[1,2]$-domination number, denoted by $γ_{t[1,2]}(G)$. We establish two sharp upper bounds on the total [1,2]-domination number of a graph $G$ in terms of its order and minimum degree, and characterize the corresponding extremal graphs achieving these bounds. Moreover, we give some sufficient conditions for a graph without total $[1,2]$-set and for a graph with the same total $[1,2]$-domination number, $[1,2]$-domination number and domination number.

研究动机与目标

• 建立图的阶数和最小度下全 [1,2]-支配数 γt[1,2](G) 的紧上界。
• 刻画达到这些上界的极值图。
• 识别图中不存在全 [1,2]-集的充分条件。
• 确定 γt[1,2](G) 同时等于 γ[1,2](G) 和 γ(G) 的条件。

提出的方法

• 使用图论定义及邻域、私有邻域和诱导子图的性质。
• 采用极值图构造方法，包括 k-冠和双 k-冠，以推导上界。
• 运用反证法与结构分析，证明在 P4-自由图中，某些子图必为孤立顶点或小路径。
• 利用私有邻域概念分析全 [1,2]-集中顶点的贡献。
• 借助关于 [1,2]-因子和正则图的已知结果，以启发猜想。
• 对诱导子图中连通分支结构进行分类讨论，以证明最小性与最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阶数 n 和最小度 δ(G) 的图 G，γt[1,2](G) 的紧上界是什么？
• RQ2 哪些图达到这些上界，其结构特征是什么？
• RQ3 在何种条件下图不包含全 [1,2]-集，即 γt[1,2](G) = +∞？
• RQ4 在何种条件下 γt[1,2](G) 同时等于 γ[1,2](G) 和 γ(G)？

主要发现

• 对于任意阶数为 n 且最小度 δ(G) ≥ 1 的图 G，全 [1,2]-支配数满足 γt[1,2](G) ≤ n/2 + 1，且当且仅当 G 同构于满足 n ≡ 2 (mod 4) 的圈 Cn 时取等。
• 对于最小度 δ(G) ≥ 2 的图，上界改进为 γt[1,2](G) ≤ 4n/5，且该上界对图 G = H ◦2P2（其中 H 为阶数至少为 2 的连通图）是紧的。
• 存在无限多组图（包括某些树和 4-正则图）不包含全 [1,2]-集，因此 γt[1,2](G) = +∞。
• 图 G 满足 γt[1,2](G) = γ[1,2](G) = γ(G) 当且仅当 G 是若干三角形与孤立顶点的不相交并。
• 本文证明了当 n 足够大时，k-正则二部图 G(n; k, n−k) 满足 γt[1,2](G) = +∞，意味着此类图不包含全 [1,2]-集。
• 本文提出并支持了关于立方图和 4-正则图中存在满足附加结构约束的 [1,2]-因子的猜想。