[论文解读] Total dominator chromatic number and Mycieleskian graphs

Adel P. Kazemi|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文研究了 Mycieleskian 图中的总支配染色数（$\chi_d^t$），证明了 $\chi_d^t(M(G))$ 介于 $\chi_d^t(G)+1$ 和 $\chi_d^t(G)+2$ 之间，并刻画了使染色数达到每个边界值的图族。本文推导出循环图、路径图及其补图的 Mycieleskian 图中 $\chi_d^t$ 的精确公式，并证明了对于任意给定的 $\chi_d^t = k \geq 3$，均存在非完全图。这些结果通过 Mycieleskian 构造将总支配染色理论扩展到一类重要的图类。

ABSTRACT

A total dominator coloring of a graph $G$ is a proper coloring of $G$ in which each vertex of the graph is adjacent to every vertex of some color class. The total dominator chromatic number $χ_d^t(G)$ of $G$ is the minimum number of color classes in a total dominator coloring of it. In [Total dominator chromatic number of a graph, submitted] the author initialed to study this number in graphs and obtained some important results. Here, we continue it in Mycieleskian graphs. We show that the total dominator chromatic number of the Mycieleskian of a graph $G$ belongs to between $χ_d^t(G)+1$ and $χ_d^t(G)+2$, and then characterize the family of graphs the their total dominator chromatic numbers are each of them.

研究动机与目标

• 将总支配染色数（$\\chi_d^t$）的研究扩展至 Mycieleskian 图，该构造在保持图结构特性的同时增加了图的复杂性。
• 建立 $\chi_d^t(M(G))$ 相对于 $\chi_d^t(G)$ 的紧致界，表明其位于区间 $[\chi_d^t(G)+1, \chi_d^t(G)+2]$ 内。
• 刻画使 $\chi_d^t(M(G))$ 达到两个上界的图族。
• 推导当 $G$ 为循环图 $C_n$、路径图 $P_n$ 或其补图时，$\chi_d^t(M(G))$ 的精确公式。
• 证明对于任意给定的总支配染色数 $k \geq 3$，均存在非完全图，从而解决了该领域中的一个结构性问题。

提出的方法

• 本文使用 Mycieleskian 构造，通过增加原顶点集的副本和一个新全域顶点，从 $G$ 生成 $M(G)$。
• 应用颜色类的私有邻居与公共邻居概念，分析 $M(G)$ 中的总支配染色。
• 分析依赖于 $M(G)$ 的结构分解，特别是原始顶点、副本顶点集 $U$ 和新全域顶点 $w$ 在满足总支配染色邻接条件中的作用。
• 基于循环图与路径图阶数的奇偶性及模运算，采用分类讨论法，推导出 $\chi_d^t(M(C_n))$、$\chi_d^t(M(P_n))$ 及其补图的精确值。
• 引入并利用图的分类：第1类（存在一个颜色类无私有邻居）与第2类（所有颜色类均有私有邻居），以证明 Mycieleskian 运算下的封闭性与传播性。
• 通过从 $K_3$ 开始的迭代 Mycieleskian 构造，利用 $G \in \text{Class }1$ 蕴含 $M(G) \in \text{Class }1$ 的事实，证明了 $\chi_d^t = k$ 的非完全图的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般图 $G$，$\chi_d^t(G)$ 与 $\chi_d^t(M(G))$ 之间有何关系？
• RQ2 在哪些图族中，$\chi_d^t(M(G)) = \chi_d^t(G)+1$ 成立，而在哪些图族中，$\chi_d^t(M(G)) = \chi_d^t(G)+2$ 成立？
• RQ3 循环图 $M(C_n)$、路径图 $M(P_n)$、其补图 $M(\overline{C_n})$ 和 $M(\overline{P_n})$ 的总支配染色数的精确值是多少？
• RQ4 是否存在具有任意给定总支配染色数 $k \geq 3$ 的非完全图？
• RQ5 Mycieleskian 运算如何影响总支配染色中颜色类的私有邻居结构？

主要发现

• 图 $G$ 的 Mycieleskian 图的总支配染色数满足 $\chi_d^t(G)+1 \leq \chi_d^t(M(G)) \leq \chi_d^t(G)+2$，且两个边界均为紧致的。
• 对于循环图，若 $n \equiv r \pmod{6}$ 且 $r \in \{0,1,2\}$，则 $\chi_d^t(M(C_n)) = 4\lfloor n/6 \rfloor + r + 2$；若 $r \in \{3,4,5\}$ 且 $n \neq 4,5$，则 $\chi_d^t(M(C_n)) = 4\lfloor n/6 \rfloor + r + 1$，且 $\chi_d^t(M(C_4)) = 4$，$\chi_d^t(M(C_5)) = 5$。
• 对于循环图的补图，$\chi_d^t(M(\overline{C_n})) = 6$（当 $n=4,5$），$5$（当 $n=6$），$\lceil n/2 \rceil + 1$（当 $n \geq 7$），表明在 $n$ 较大时出现显著跃升。
• 对于路径图，若 $n \equiv 0 \pmod{3}$，则 $\chi_d^t(M(P_n)) = 2\lceil n/3 \rceil + 2$；若 $n \equiv 2 \pmod{3}$，则 $\chi_d^t(M(P_n)) = 2\lceil n/3 \rceil + 1$；若 $n \equiv 1 \pmod{3}$，则 $\chi_d^t(M(P_n)) = 2\lceil n/3 \rceil$，且 $\chi_d^t(M(P_2)) = 4$，表明其对 $n \mod 3$ 有复杂依赖。
• 对于路径图的补图，$\chi_d^t(M(\overline{P_n})) = 4$（当 $n=4$），$\lceil n/2 \rceil + 1$（当 $n \geq 5$），表明从 $n=5$ 起出现急剧增长。
• 本文证明了对于任意 $k \geq 3$，均存在一个非完全图满足 $\chi_d^t(G) = k$，该结果通过从 $K_3$ 开始的迭代 Mycieleskian 构造实现，从而解决了该领域中的一个开放性结构性问题。