[论文解读] Total occurrence statistics on restricted permutations

Alexander Burstein, Sergi Elizalde|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过生成函数、Dyck路径双射和块分解，推导出在避免2-3-1和3-2-1的排列中，长度为3的vinalc模式的总出现次数的精确公式。关键结果包括涉及二项式系数和连分数生成函数的闭式表达式，这些表达式用于统计反转数和主要指数等指标下的模式出现次数，揭示了某些模式的等分布现象。

ABSTRACT

We study the total number of occurrences of several vincular (also called generalized) patterns and other statistics, such as the major index and the Denert statistic, on permutations avoiding a pattern of length 3, extending results of Bona (2010, 2012) and Homberger (2012). In particular, for 2-3-1-avoiding permutations, we find the total number of occurrences of any vincular pattern of length 3. In some cases the answer is given by simple expressions involving binomial coefficients. The tools we use are bijections with Dyck paths, generating functions, and block decompositions of permutations.

研究动机与目标

• 推导在避免2-3-1或3-2-1的排列中，长度为3的vinalc模式的总出现次数。
• 将先前关于经典和连续模式统计的研究扩展到受限排列类中的广义（vinalc）模式。
• 在避免2-3-1的排列中，建立特定vinalc模式（如13-2和31-2）的等分布结果。
• 通过保持权重的双射和生成函数，将模式统计与Dyck路径统计联系起来。
• 探索模式出现次数的生成函数与组合对象（如阶梯形多格形）之间的联系。

提出的方法

• 将避免2-3-1的排列按最大元素划分为左右两部分的块分解。
• 使用跟踪模式出现次数的变量的生成函数，导出递归函数方程。
• 推导连分数生成函数，例如 $ F(q,z) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{zq}{1 - \cdots}}}} $，以编码模式统计。
• 构建阶梯形多格形与Dyck路径之间的保持权重的双射，将面积统计与模式权重联系起来。
• 应用已知的涉及Catalan数和$ q $-二项式系数的生成函数恒等式，推导出闭式表达。
• 使用多重变量生成函数和偏导数，从受限排列集合中提取分布统计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在集合 $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ 中，任意长度为3的vinalc模式的总出现次数是多少？
• RQ2 在 $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ 上，13-2和31-2的出现次数统计是否等分布？
• RQ3 模式出现次数的生成函数如何与Dyck路径和多格形的生成函数相关联？
• RQ4 3-2-1避免排列中的反转数生成函数能否与2-3-1避免排列中模式出现次数的生成函数相关联？
• RQ5 是否存在直接的保持权重的双射，将具有不同权重分配的Dyck路径与同一生成函数对应起来？

主要发现

• 在 $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ 中，任意长度为3的vinalc模式的总出现次数在特定情况下由涉及二项式系数的闭式表达式给出。
• 通过递归块分解和生成函数恒等式，证明了在 $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ 上，13-2和31-2的出现次数是等分布的。
• 在 $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ 中，模式出现次数的生成函数 $ F(q,z) $ 满足连分数恒等式 $ F(q,z) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{zq}{1 - \cdots}}}} $。
• 通过 $ F(q,z) = 1 + \frac{q}{z}P(q, \frac{z}{q}) $，其中 $ P(q,z) $ 按面积和半周长计数多格形，生成函数 $ F(q,z) $ 与阶梯形多格形的生成函数相关联。
• 通过 $ F(q,z) = \frac{1}{1 - z\mathfrak{J}(q,1;z)} $，生成函数 $ F(q,z) $ 与3-2-1避免排列的生成函数 $ \mathfrak{J}(q,1;z) $ 相连。
• 本文证明，生成函数 $ \hat{F}(q,z) = F(q,zq) $ 用于计数Dyck路径，其中高度 $ h $ 处的 $ U $ 步骤权重为 $ q^{\lfloor h/2\rfloor + 1} $，从而将其与多格形面积统计联系起来。