[论文解读] Total proper connection of graphs

Hui Jiang, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了图的总正常连接性概念，其中顶点和边均被着色，使得任意两个顶点之间存在一条路径，其相邻边、内部相邻顶点以及内部顶点与其关联边的颜色均不同。主要贡献在于证明了2-连通图的总正常连接数tpc(G)至多为4——这是紧致的上界——并为最小度为δ的一般连通图给出了上界3n/(δ+1)+1。

ABSTRACT

A graph is said to be {\it total-colored} if all the edges and the vertices of the graph is colored. A path in a total-colored graph is a {\it total proper path} if $(i)$ any two adjacent edges on the path differ in color, $(ii)$ any two internal adjacent vertices on the path differ in color, and $(iii)$ any internal vertex of the path differs in color from its incident edges on the path. A total-colored graph is called {\it total-proper connected} if any two vertices of the graph are connected by a total proper path of the graph. For a connected graph $G$, the {\it total proper connection number} of $G$, denoted by $tpc(G)$, is defined as the smallest number of colors required to make $G$ total-proper connected. These concepts are inspired by the concepts of proper connection number $pc(G)$, proper vertex connection number $pvc(G)$ and total rainbow connection number $trc(G)$ of a connected graph $G$. In this paper, we first determine the value of the total proper connection number $tpc(G)$ for some special graphs $G$. Secondly, we obtain that $tpc(G)\leq 4$ for any $2$-connected graph $G$ and give examples to show that the upper bound $4$ is sharp. For general graphs, we also obtain an upper bound for $tpc(G)$. Furthermore, we prove that $tpc(G)\leq \frac{3n}{δ+1}+1$ for a connected graph $G$ with order $n$ and minimum degree $δ$. Finally, we compare $tpc(G)$ with $pvc(G)$ and $pc(G)$, respectively, and obtain that $tpc(G)>pvc(G)$ for any nontrivial connected graph $G$, and that $tpc(G)$ and $pc(G)$ can differ by $t$ for $0\leq t\leq 2$.

研究动机与目标

• 定义并形式化图的总正常连接性概念，扩展先前关于正常连接和彩虹连接的研究。
• 确定特定图类（如树、完全二部图和完全多部图）的总正常连接数tpc(G)。
• 为2-连通图和一般连通图建立tpc(G)的紧致上界，尤其基于最小度δ和阶n。
• 将tpc(G)与正常连接数pc(G)和正常顶点连接数pvc(G)进行比较，揭示严格不等式关系，并指出其取值可能存在的差异。

提出的方法

• 定义总正常路径：相邻边、内部相邻顶点以及内部顶点与其关联边的颜色均不同。
• 引入总正常连接数tpc(G)作为确保每对顶点之间存在总正常路径所需的最少颜色数。
• 通过支配集D及层N¹(D)和N²(D)构造生成子图，以分析连通性与着色分配。
• 基于N²(D)中顶点的公共邻居交集进行分类讨论，设计一种总着色策略以保证总正常连通性。
• 采用一种着色方案，为D、N¹(D)和N²(D)层中的边和顶点分配颜色，以满足总正常路径条件。
• 通过利用支配集的大小和度约束，推导出一般连通图中tpc(G) ≤ 3n/(δ+1) + 1的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非平凡树、完全二部图和完全多部图等特殊图类，tpc(G)的值是多少？
• RQ2 2-连通图的tpc(G)最大可能值是多少？该上界是否紧致？
• RQ3 tpc(G)与正常连接数pc(G)和正常顶点连接数pvc(G)之间有何关系？
• RQ4 tpc(G)与pc(G)的差值是否可能超过2？对于哪些t值，存在满足tpc(G) = pc(G) + t的图？
• RQ5 是否存在图G使得对任意k ≥ 4，均有tpc(G) = pc(G) = k？

主要发现

• 对任意2-连通图G，有tpc(G) ≤ 4，且该上界是紧致的，已有显式例子证明。
• 对阶为n、最小度为δ的一般连通图G，有tpc(G) ≤ 3n/(δ+1) + 1。
• 对所有非平凡连通图G，均有tpc(G) > pvc(G)，当G不是完全图时，tpc(G) ≥ 3且pvc(G) ≤ 2。
• 存在图使得tpc(G) = pc(G) = 3，表明这两个不变量可相等且大于1。
• 对满足Δ(T) ≥ 3的树T，有tpc(T) = pc(T) + 1，且存在图使得tpc(G) = pc(G) + 2。
• 本文未解决tpc(G)与pc(G)的差值是否可能达到t ≥ 3的问题，提出了关于此类图存在的开放问题。