[论文解读] Totally Geodesic Spectra of Quaternionic Hyperbolic Orbifolds

Jeffrey S. Meyer|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文利用算术数据对有限体积四元数双曲轨道丛及其推广中的全测地子空间进行分类，参数化共轭类。研究发现，复双曲全测地子空间决定共轭类，而实双曲子空间则不能，且证明了所有在 Sp(m,1) 中的共 compact 晶格（m≥2）均包含拟凸曲面子群。

ABSTRACT

In this paper we analyze and classify the totally geodesic subspaces of finite volume quaternionic hyperbolic orbifolds and their generalizations, locally symmetric orbifolds arising from irreducible lattices in Lie groups of the form $(\mathbf{Sp}_{2n}(\mathbb{R}))^q imes \prod_{i=1}^r \mathbf{Sp}(p_i,n-p_i) imes (\mathbf{Sp}_{2n}(\mathbb{C}))^s$. We give criteria for when the totally geodesic subspaces of such an orbifold determine its commensurability class. We give a parametrization of the commensurability classes of finite volume quaternionic hyperbolic orbifolds in terms of arithmetic data, which we use to show that the complex hyperbolic totally geodesic subspaces of a quaternionic hyperbolic orbifold determine its commensurability class, but the real hyperbolic totally geodesic subspaces do not. Lastly, our tools allow us to show that every cocompact lattice $Γ

研究动机与目标

• 对有限体积四元数双曲轨道丛及其推广中的全测地子空间进行分类。
• 确定此类轨道丛的全测地子空间在何种条件下决定其共轭类。
• 利用算术数据对有限体积四元数双曲轨道丛的共轭类进行参数化。
• 研究实与复双曲全测地子空间在决定共轭类中的作用。
• 证明在 Sp(m,1)（m≥2）中的所有共 compact 晶格均包含拟凸曲面子群。

提出的方法

• 分析由形式为 $(\mathbf{Sp}_{2n}(\mathbb{R}))^q \times \prod_{i=1}^r \mathbf{Sp}(p_i,n-p_i) \times (\mathbf{Sp}_{2n}(\mathbb{C}))^s$ 的李群中的不可约晶格所生成的局部对称轨道丛。
• 应用算术技术对有限体积四元数双曲轨道丛的共轭类进行参数化。
• 利用对称空间的结构及算术晶格的作用对全测地子空间进行分类。
• 通过几何与算术不变量比较实与复双曲全测地子空间对共轭类的影响。
• 利用双曲群中拟凸性的结果及对称空间的几何性质，证明拟凸曲面子群的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些全测地子空间出现在有限体积四元数双曲轨道丛及其推广中？
• RQ2 在何种条件下，此类轨道丛的全测地子空间决定其共轭类？
• RQ3 复双曲全测地子空间与实双曲子空间在决定共轭类方面有何异同？
• RQ4 能否通过算术数据完全表征有限体积四元数双曲轨道丛的共轭类？
• RQ5 所有在 $\mathbf{Sp}(m,1)$ 中的共 compact 晶格（$m\ge 2$）是否都包含拟凸曲面子群？

主要发现

• 四元数双曲轨道丛的复双曲全测地子空间决定其共轭类。
• 相比之下，实双曲全测地子空间不能决定共轭类。
• 利用算术数据成功实现了对有限体积四元数双曲轨道丛共轭类的参数化。
• 每个共 compact 晶格 $\Gamma < \mathbf{Sp}(m,1)$（$m \ge 2$）均包含拟凸曲面子群。
• 全测地子空间的分类依赖于底层李群及其算术晶格的结构。
• 研究结果在共轭类不变量中清晰界定了实与复测地子空间的不同作用。