[论文解读] Tournament quasirandomness from local counting

Matija Bucić, Eoin Long+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文通过分析在较大锦标赛 T 中单个 h 个顶点的锦标赛 H 的局部计数是否迫使 T 成为准随机锦标赛，研究了锦标赛的准随机性。研究证明，尽管非传递 H 的全局计数不能推出准随机性，但存在一个常数比例的锦标赛是局部强制的——即其局部计数唯一地刻画了准随机性——不过只有强准随机锦标赛才能是局部强制的。其主要贡献是通过度计数多项式和随机构造，对局部强制锦标赛进行了结构表征。

ABSTRACT

A well-known theorem of Chung and Graham states that if $h\geq 4$ then a tournament $T$ is quasirandom if and only if $T$ contains each $h$-vertex tournament the "correct number" of times as a subtournament. In this paper we investigate the relationship between quasirandomness of $T$ and the count of a single $h$-vertex tournament $H$ in $T$. We consider two types of counts, the global one and the local one. We first observe that if $T$ has the correct global count of $H$ and $h \geq 7$ then quasirandomness of $T$ is only forced if $H$ is transitive. The next natural question when studying quasirandom objects asks whether possessing the correct local counts of $H$ is enough to force quasirandomness of $T$. A tournament $H$ is said to be locally forcing if it has this property. Variants of the local forcing problem have been studied before in both the graph and hypergraph settings. Perhaps the closest analogue of our problem was considered by Simonovits and Sós who looked at whether having "correct counts" of a fixed graph $H$ as an induced subgraph of $G$ implies $G$ must be quasirandom, in an appropriate sense. They proved that this is indeed the case when $H$ is regular and conjectured that it holds for all $H$ (except the path on 3 vertices). Contrary to the Simonovits-Sós conjecture, in the tournament setting we prove that a constant proportion of all tournaments are not locally forcing. In fact, any locally forcing tournament must itself be strongly quasirandom. On the other hand, unlike the global forcing case, we construct infinite families of non-transitive locally forcing tournaments.

研究动机与目标

• 确定在较大锦标赛 T 中单个 h 个顶点的锦标赛 H 的局部计数是否意味着 T 是准随机的。
• 表征哪些锦标赛 H 是局部强制的，即通过其局部计数强制实现准随机性。
• 对比局部强制与全局强制，表明非传递 H 的全局计数不能推出准随机性。
• 通过度计数多项式和随机锦标赛模型，建立局部强制锦标赛的结构表征。
• 通过多项式根的求解和计算复杂性，探讨局部强制性的算法可判定性。

提出的方法

• 将局部强制定义为：当且仅当锦标赛 T 的 H 局部计数与随机锦标赛的计数相匹配时，T 是准随机的。
• 使用正则性引理分析局部计数，并推导出 H 局部强制所需的结构约束。
• 引入度计数多项式 q_{H,a}(x)，以编码 H 中 a 元组顶点的边数分布。
• 通过在近乎正则锦标赛上使用随机分布，构造无限多个非传递的局部强制锦标赛族。
• 将局部强制问题约化为检查某些缩放后的度计数多项式是否在 (0,1] 内有公共根。
• 利用柯西-施瓦茨不等式和边数估计，推导出顶点度数不平衡的必要条件，以实现局部计数匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些锦标赛 H 是局部强制的，即其局部计数唯一地决定了锦标赛 T 的准随机性？
• RQ2 非传递锦标赛能否是局部强制的？若是，它们具有何种结构特征？
• RQ3 单个非传递 H 的全局计数是否足以强制 T 成为准随机锦标赛？若否，原因是什么？
• RQ4 局部强制性与 H 的度计数多项式结构之间存在何种关系？
• RQ5 能否通过度计数多项式的系数，在多项式时间内判定局部强制性？

主要发现

• 所有锦标赛中有一常数比例的锦标赛不是局部强制的，表明局部强制是一种罕见且具有结构特性的性质。
• 任何局部强制锦标赛本身必须是强准随机的，即满足与随机锦标赛相同的全局准随机性条件。
• 构造了无限多个非传递锦标赛族，它们是局部强制的，证明了传递性并非局部强制的必要条件。
• 当且仅当 H 同时是 T_clique-forcing 和 T_bip-forcing 时，H 是局部强制的，这提供了一种类结构二分法。
• 局部强制性可约化为检查缩放后的度计数多项式是否在 (0,1] 内有公共根，从而提供了一条潜在的算法路径。
• 对于小规模锦标赛如 Tr_3 和 C_3，可通过度数不平衡和柯西-施瓦茨估计直接验证其局部强制性，从而确认其局部强制状态。