[论文解读] Towards A Categorical Approach of Transformational Music Theory

Alexandre Popoff|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2012

Neuroscience and Music Perception参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于范畴扩展与广群的变换音乐理论的范畴框架，以推广纽-里曼变换，实现对部分、不可逆及跨基数和弦变换的建模。该框架将标准的半直积群作为范畴内的复合结构恢复，统一了多种变换系统于单一代数结构之下。

ABSTRACT

Transformational music theory mainly deals with group and group actions on sets, which are usually constituted by chords. For example, neo-Riemannian theory uses the dihedral group D24 to study transformations between major and minor triads, the building blocks of classical and romantic harmony. Since the developments of neo-Riemannian theory, many developments and generalizations have been proposed, based on other sets of chords, other groups, etc. However music theory also face problems for example when defining transformations between chords of different cardinalities, or for transformations that are not necessarily invertible. This paper introduces a categorical construction of musical transformations based on category extensions using groupoids. This can be seen as a generalization of a previous work which aimed at building generalized neo-Riemannian groups of transformations based on group extensions. The categorical extension construction allows the definition of partial transformations between different set-classes. Moreover, it can be shown that the typical wreath products groups of transformations can be recovered from the category extensions by "packaging" operators and considering their composition.

研究动机与目标

• 解决纽-里曼理论中的局限性，例如不可逆变换以及跨不同基数的和弦变换。
• 通过将现有基于群的变换系统扩展为范畴框架，实现其推广。
• 提供一个统一的代数结构，以容纳集合类之间的可逆与部分变换。
• 将已知的变换群（如半直积群）作为所提出的范畴扩展框架内的复合结构恢复。

提出的方法

• 本文通过广群扩展构建了一个音乐变换范畴，允许在和弦之间存在部分和不可逆映射。
• 通过将群扩张方法嵌入范畴框架中，扩展了先前的方法，以建模不同基数和弦之间的变换。
• 该框架使用范畴论的复合运算来建模算子序列，从而能够恢复标准变换群（如半直积群）。
• 使用广群表示集合类之间的变换，其中态射同时编码变换及其适用域。
• 通过放宽对可逆性和完整定义域覆盖的要求，推广了纽-里曼操作。
• 范畴结构使得变换算子能够系统化地打包与复合，同时保持代数的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将变换音乐理论推广，以包含不同基数和弦之间的不可逆与部分变换？
• RQ2 变换音乐理论中使用的标准半直积群能否从更基础的范畴构造中推导而出？
• RQ3 当出现定义域限制或不可逆性时，何种代数结构最能捕捉音乐变换的复合？
• RQ4 与传统的基于群的模型相比，基于广群的扩展在建模现实中的和声进行时有何改进？
• RQ5 范畴扩展在何种方式下将多种变换系统统一于单一理论框架之下？

主要发现

• 所提出的范畴扩展框架成功建模了不同基数和弦之间的部分与不可逆变换，克服了经典基于群方法的关键局限。
• 该框架通过将先前的群扩张方法嵌入支持复合与定义域指定的范畴结构中，实现了对这些方法的推广。
• 标准变换群（如半直积群）作为范畴内算子的复合被恢复，表明其与既定理论的一致性。
• 使用广群使得变换的表示更加精细，其中态射同时编码变换及其有效适用域。
• 范畴构造提供了一个统一框架，能够容纳多种变换系统，包括具有不可逆或受限映射的系统。